В треугольник со сторонами 4, 5 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…

Чтобы найти расстояния от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности, сначала нужно вычислить полупериметр треугольника и его площадь.

Стороны треугольника: \( a = 4 \), \( b = 5 \), \( c = 8 \).

Сначала находим полупериметр \( s \):

\[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 8}{2} = \frac{17}{2} = 8.5 \]

Теперь найдем площадь \( S \) треугольника с помощью формулы Герона:

\[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]

Вычислим каждый из членов:

• \( s - a = 8.5 - 4 = 4.5 \)
• \( s - b = 8.5 - 5 = 3.5 \)
• \( s - c = 8.5 - 8 = 0.5 \)

Теперь подставим значения в формулу:

\[ S = \sqrt{8.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 0.5} \]

Посчитаем поэтапно:

\[ 8.5 \cdot 0.5 = 4.25 \] \[ 4.5 \cdot 3.5 = 15.75 \] \[ S = \sqrt{4.25 \cdot 15.75} \]

Теперь найдем произведение:

\[ 4.25 \cdot 15.75 = 66.9375 \]

Итак,

\[ S = \sqrt{66.9375} \approx 8.19 \]

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности \( r \):

\[ r = \frac{S}{s} = \frac{8.19}{8.5} \approx 0.964 \]

Теперь найдем расстояния от каждой вершины до их ближайшей точки касания вписанной окружности. Эти расстояния равны:

• \( d_a = s - a = 8.5 - 4 = 4.5 \)
• \( d_b = s - b = 8.5 - 5 = 3.5 \)
• \( d_c = s - c = 8.5 - 8 = 0.5 \)

Наименьшее из этих расстояний:

\[ \min(d_a, d_b, d_c) = \min(4.5, 3.5, 0.5) = 0.5 \]

Таким образом, наименьшее расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно \( 0.5 \).