В треугольнике со сторонами 4,5 ,8 вписана окружность.Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.Чему равно наименьшее ид этих расстояний?
Для решения задачи о расстояниях от вершин треугольника до точек касания вписанной окружности, сначала нужно определить, что радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле:
\[ r = \frac{S}{p} \]
где \( S \) — площадь треугольника, а \( p \) — полупериметр.
Вычисление полупериметра \( p \): Треугольник имеет стороны 4, 5 и 8. \[ p = \frac{4 + 5 + 8}{2} = \frac{17}{2} = 8.5 \]
Вычисление площади \( S \): Используем формулу Герона для нахождения площади треугольника: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Где \( a = 4, b = 5, c = 8 \): \[ S = \sqrt{8.5 \times (8.5 - 4) \times (8.5 - 5) \times (8.5 - 8)} \] \[ S = \sqrt{8.5 \times 4.5 \times 3.5 \times 0.5} \]
Теперь посчитаем \( S \): \[ = 8.5 \times 4.5 = 38.25 \] \[ 38.25 \times 3.5 = 133.875 \] \[ 133.875 \times 0.5 = 66.9375 \] Таким образом: \[ S = \sqrt{66.9375} \approx 8.2 \]
Вычисление радиуса окружности \( r \): \[ r = \frac{S}{p} = \frac{8.2}{8.5} \approx 0.965 \]
Теперь мы можем найти расстояния от каждой из вершин треугольника до точек касания окружности:
Расстояние от вершины A (которая против стороны 8): \[ d_A = p - a = 8.5 - 4 = 4.5 \]
Расстояние от вершины B (которая против стороны 5): \[ d_B = p - b = 8.5 - 5 = 3.5 \]
Расстояние от вершины C (которая против стороны 4): \[ d_C = p - c = 8.5 - 8 = 0.5 \]
Теперь определим наименьшее из этих расстояний: \[ \text{Наименьшее расстояние} = \min(d_A, d_B, d_C) = \min(4.5, 3.5, 0.5) = 0.5 \]
Таким образом, наименьшее расстояние от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника равно \( 0.5 \).
