в треугольнике со сторонами 5-6 и 8 вписана окружность: Петя посчитал расстояние от каждой из вершин треугольника до ближайщей точки касания вписанной окружности со сторонами…

Чтобы решить эту задачу, сначала определим радиус вписанной окружности и расстояния от вершин треугольника до точек касания окружности.

Для треугольника со сторонами \(a = 5\), \(b = 6\) и \(c = 8\) найдем полупериметр \(s\):

\[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 8}{2} = 9.5 \]

Теперь можно найти площадь треугольника \(S\) с помощью формулы Герона:

\[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9.5(9.5-5)(9.5-6)(9.5-8)} \]

Подставим значения:

\[ S = \sqrt{9.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 1.5} \]

Теперь вычислим:

\[ S \approx \sqrt{9.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 1.5} \approx \sqrt{9.5 \cdot 23.625} \approx \sqrt{224.4375} \approx 15 \]

Радиус вписанной окружности \(r\) можно найти по формуле:

\[ r = \frac{S}{s} \approx \frac{15}{9.5} \approx 1.58 \]

Расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности можно найти по формулам:

• Расстояние от вершины \(A\) до точки касания с противоположной стороной \(a\): \[ d_A = r = 1.58 \]

• Расстояние от вершины \(B\) до точки касания с противоположной стороной \(b\): \[ d_B = r = 1.58 \]

• Расстояние от вершины \(C\) до точки касания с противоположной стороной \(c\): \[ d_C = r = 1.58 \]

Так как все расстояния равны радиусу вписанной окружности, наименьшее из расстояний от вершин треугольника до ближайшей точки касания окружности также равно этому радиусу.

Итак, наименьшее расстояние от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности составляет:

\[ \boxed{1.58} \]