В треугольник со сторонами 4, 5 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?
Для нахождения наименьшего расстояния от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности, сначала необходимо воспользоваться свойствами вписанной окружности и сторон треугольника.
Дано:
- Стороны треугольника: \( a = 4 \), \( b = 5 \), \( c = 8 \).
Обозначим:
- \( r \) — радиус вписанной окружности,
- \( s \) — полупериметр треугольника.
Для начала найдем полупериметр: \[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 8}{2} = \frac{17}{2} = 8.5. \]
Теперь мы можем найти площадь треугольника \( S \) с использованием формулы Герона: \[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}. \] Подставляем значения: \[ S = \sqrt{8.5 \times (8.5 - 4) \times (8.5 - 5) \times (8.5 - 8)} = \sqrt{8.5 \times 4.5 \times 3.5 \times 0.5}. \] Для упрощения вычислений, сначала найдем произведение: \[ 8.5 \times 4.5 = 38.25, \] \[ 3.5 \times 0.5 = 1.75, \] Теперь перемножим: \[ S = \sqrt{38.25 \times 1.75} = \sqrt{66.9375} \approx 8.19. \]
Теперь найдем радиус \( r \) вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{s} = \frac{8.19}{8.5} \approx 0.964. \]
Расстояния от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности с каждой стороной треугольника можно найти по следующей формуле: \[ d_a = s - a, \quad d_b = s - b, \quad d_c = s - c. \]
Теперь считаем каждое расстояние: \[ d_a = s - a = 8.5 - 4 = 4.5, \] \[ d_b = s - b = 8.5 - 5 = 3.5, \] \[ d_c = s - c = 8.5 - 8 = 0.5. \]
Теперь сравниваем расстояния:
- \( d_a = 4.5 \),
- \( d_b = 3.5 \),
- \( d_c = 0.5 \).
Наименьшее из этих расстояний: \[ \min(d_a, d_b, d_c) = 0.5. \]
Таким образом, наименьшее расстояние от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника равно \( 0.5 \).
