В первой урне 3 белых и 7 черных шаров, во второй - 6 белых и 4 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Какова…

Для решения этой задачи воспользуемся формулой условной вероятности и методом последовательного вычисления шансов.

Обозначим события:

• \( A \) — событие, что вынутый шар был из второй урны.
• \( B \) — событие, что вынутый шар белый.

Нам нужно найти условную вероятность \( P(A | B) \), то есть вероятность того, что вынутый шар из второй урны при условии, что он белый.

Сначала посчитаем общие вероятности:

1. Общее количество шаров в первой урне до пересыпки:

   • 3 белых + 7 черных = 10 шаров.

2. А) Случай, когда из второй урны переложили белый шар:

   • Во второй урне 6 белых и 4 черных шара.
   • После переложения: первая урна будет содержать 4 белых (3 + 1) и 7 черных (всего 11 шаров).
   • Вероятность того, что вынутый шар белый: \[ P(B | A_1) = \frac{4}{11} \]
   • Вероятность переложить белый шар \( P(A_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \).

3. Б) Случай, когда из второй урны переложили черный шар:

   • После переложения: первая урна будет содержать 3 белых и 8 черных (всего 11 шаров).
   • Вероятность того, что вынутый шар белый: \[ P(B | A_2) = \frac{3}{11} \]
   • Вероятность переложить черный шар \( P(A_2) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \).

Теперь мы можем использовать теорему Байеса, чтобы вычислить \( P(A | B) \):

\[ P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) \] Подставим значения: \[ P(B) = \left(\frac{4}{11} \cdot \frac{3}{5}\right) + \left(\frac{3}{11} \cdot \frac{2}{5}\right) = \frac{12}{55} + \frac{6}{55} = \frac{18}{55} \]

Теперь можем найти \( P(A | B) \) по формуле условной вероятности: \[ P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)} \] Где \( P(B | A) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) \):

Теперь подставим значения: \[ P(A | B) = \frac{\left(\frac{4}{11} \cdot \frac{3}{5}\right)}{\frac{18}{55}} = \frac{\frac{12}{55}}{\frac{18}{55}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \]

Таким образом, вероятность того, что вынутый шар ранее находился во второй урне, если он белый, составляет \( \frac{2}{3} \).