в треугольник со сторонами 5,6 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…

Чтобы найти наименьшее расстояние от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности, сначала нужно найти радиус вписанной окружности и расстояния от вершин до точек касания.

Для треугольника со сторонами \( a = 5 \), \( b = 6 \), \( c = 8 \) воспользуемся формулами для нахождения радиуса вписанной окружности и полупериметра.

1. Находим полупериметр: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 8}{2} = 9.5 \]

2. Находим площади треугольника по формуле Герона: \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \] Подставляем значения: \[ S = \sqrt{9.5 \times (9.5 - 5) \times (9.5 - 6) \times (9.5 - 8)} = \sqrt{9.5 \times 4.5 \times 3.5 \times 1.5} \]

   Сначала вычислим произведение: \[ 9.5 \times 4.5 = 42.75 \] \[ 42.75 \times 3.5 = 149.625 \] \[ 149.625 \times 1.5 = 224.4375 \]

   Теперь найдём корень: \[ S = \sqrt{224.4375} \approx 14.98 \]

3. Находим радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{14.98}{9.5} \approx 1.58 \]

4. Теперь нам нужно найти расстояния от каждой вершины треугольника до точек касания. Эти расстояния можно вычислить как: \[ d_a = p - a, \quad d_b = p - b, \quad d_c = p - c \] Подставляем \( a \), \( b \), \( c \): \[ d_a = 9.5 - 5 = 4.5 \] \[ d_b = 9.5 - 6 = 3.5 \] \[ d_c = 9.5 - 8 = 1.5 \]

5. Сравниваем расстояния: \( d_a = 4.5, d_b = 3.5, d_c = 1.5 \).

Наименьшее расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно \( 1.5 \).