На координатной плоскости ОХУ отметили все точки (х, у), координаты которых удовлетворяют уравнению х2 + 5х + y? = 0. Что за множество получилось?
Рассмотрим данное уравнение:
\[ x^2 + 5x + y^2 = 0. \]
Чтобы определить множество точек, удовлетворяющих этому уравнению, можно выразить \( y^2 \) через \( x \):
\[ y^2 = - (x^2 + 5x). \]
Поскольку \( y^2 \) должно быть неотрицательным (значение \( y^2 \) не может быть меньше нуля), это приводит к неравенству:
\[ - (x^2 + 5x) \geq 0 \] или \[ x^2 + 5x \leq 0. \]
Решим это неравенство. Для этого найдем корни уравнения \( x^2 + 5x = 0 \):
\[ x(x + 5) = 0. \]
Корни: \( x = 0 \) и \( x = -5 \). Это делит ось \( x \) на три отрезка: \( (-\infty, -5) \), \( (-5, 0) \) и \( (0, \infty) \).
Теперь проверим знак выражения \( x^2 + 5x \) на этих отрезках:
- Для \( x < -5 \) (например, \( x = -6 \)): \( (-6)^2 + 5(-6) = 36 - 30 = 6 \) (положительное).
- Для \( -5 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( (-1)^2 + 5(-1) = 1 - 5 = -4 \) (отрицательное).
- Для \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \( (1)^2 + 5(1) = 1 + 5 = 6 \) (положительное).
Таким образом, неравенство \( x^2 + 5x \leq 0 \) выполняется в интервале \( [-5, 0] \).
Теперь вычислим соответствующие значения \( y^2 \):
Для \( x \) из интервала \( [-5, 0] \) у нас будет \( y^2 = - (x^2 + 5x) \), что будет неотрицательным и при этом \( y \) может принимать значения как положительные, так и отрицательные. Таким образом, для каждого значения \( x \) из данного интервала \( y \) будет зависеть от \( x \).
В итоге, множество точек, удовлетворяющих первоначальному уравнению, представляет собой два дуги (одна верхняя, одна нижняя) в диапазоне \( x \in [-5, 0] \) и описывается уравнением \( y = \pm \sqrt{-(x^2 + 5x)} \).
