16:38 Дима отправился гулять по квадрату 200 × 200, от правого верхнего угла к центру. Сперва он идёт по верхней строке до второго столбца, поворачивает налево, доходит до третьей…
16:38 Дима отправился гулять по квадрату 200 × 200, от правого верхнего угла к центру. Сперва он идёт по верхней строке до второго столбца, поворачивает налево, доходит до третьей снизу строки, поворачивает налево, доходит до четвёртого справа столбца и т. д., пока не окажется в одной из четырёх центральных клеток. На рисунке изображён такой путь для доски 8 × 8, и он состоит из 16 клеток. ределите длину пути для доски 200 × 200.
Чтобы определить длину пути Димы на квадратной доске размером 200 × 200, давайте рассмотрим его маршрут шаг за шагом, аналогично тому, как это показано в задаче с доской размером 8 × 8.
Дима начинает свой путь в правом верхнем углу. Если мы обозначим ячейки по координатам, то его начальная позиция — это (1, 200).
Он идет по верхней строке до второго столбца. Это первый отрезок, длина которого составляет 1 (из 1-го столбца в 2-й).
Затем он поворачивает налево и идет до третьей снизу строки. Позиция при этом изменяется с (2, 200) на (2, 198), что тоже составляет 2 шага (с 200 до 198).
Далее он снова поворачивает налево и движется до четвёртого справа столбца. Это отрезок длиной 3 шага (из 2-го в 4-й).
Путь продолжается таким образом. Мы можем заметить, что с каждой итерацией длина каждого этапа увеличивается на 1. Таким образом, длина пути будет определяться как сумма шагов, где на каждом этапе количество шагов равно номеру текущего вязкого ряда или столбца, направляемого в сторону центра.
Теперь давайте проанализируем, что происходит на доске 200 × 200:
- Сначала Дима идёт 1 шаг, потом 2, затем 3 и так далее, пока не достигнет центра доски.
- Центральные клетки для доски 200 × 200 находятся на ячейках (100, 100), (100, 101), (101, 100), и (101, 101).
Так как размер доски (n = 200) позволяет Dиме пройти равное количество шагов до центра, лишь примерно из первой зоны до четвертой.
Сумма всех шагов:
- Из первого ряда: 1
- Из второго ряда: 2
- Из третьего ряда: 3, и так далее...
Финальная длина пути до центра будет: \[ \text{Длина} = 1 + 2 + 3 + ... + n, \] где n - количество ячеек от начала до центра.
Это равняется: \[ \text{Длина} = \frac{n(n+1)}{2}. \]
Так как для доски 200 × 200, n = 100, подставляем в формулу: \[ \text{Длина} = \frac{100 \times (100+1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 5050. \]
Дима пройдет 5050 клеток, чтобы добраться до одного из четырех центральных квадратов на доске 200 × 200.
