Длины сторон AB и AD прямоугольника ABCD равны 21 и 24 соответственно. Пусть M - середина стороны CD, и пусть X - такая точка на плоскости, что A - середина отрезка XM. Найдите…

Чтобы найти площадь треугольника \( XBD \), начнем с анализа геометрической фигуры.

1. Определим координаты точек прямоугольника ABCD:

   • Пусть \( A(0, 0) \)
   • \( B(21, 0) \) (так как AB = 21)
   • \( D(0, 24) \) (так как AD = 24)
   • \( C(21, 24) \)

2. Найдем координаты точки M, которая является серединой стороны CD:

   • Координаты \( C(21, 24) \) и \( D(0, 24) \).
   • Тогда \( M = \left( \frac{0 + 21}{2}, 24 \right) = (10.5, 24) \).

3. По условию, A является серединой отрезка XM. Предположим, что координаты точки \( X \) равны \( (x, y) \).

   • Тогда координаты середины отрезка \( XM \) могут быть записаны как: \[ A = \left( \frac{x + 10.5}{2}, \frac{y + 24}{2} \right) \] Поскольку A = (0, 0), мы можем установить равенства: \[ \frac{x + 10.5}{2} = 0 \implies x + 10.5 = 0 \implies x = -10.5 \] \[ \frac{y + 24}{2} = 0 \implies y + 24 = 0 \implies y = -24 \] Итак, координаты точки \( X \) равны \( X(-10.5, -24) \).

4. Теперь находим площадь треугольника \( XBD \):

   • Координаты точек:
     • \( X(-10.5, -24) \)
     • \( B(21, 0) \)
     • \( D(0, 24) \)

5. Используем формулу площади треугольника по координатам: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Подставим координаты: \[ x_1 = -10.5, \quad y_1 = -24, \quad x_2 = 21, \quad y_2 = 0, \quad x_3 = 0, \quad y_3 = 24 \]

   Теперь считаем: \[ S = \frac{1}{2} \left| -10.5(0 - 24) + 21(24 + 24) + 0(-24 - 0) \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \left| -10.5 \cdot (-24) + 21 \cdot 48 \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \left| 252 + 1008 \right| = \frac{1}{2} \left| 1260 \right| = 630 \]

Итак, площадь треугольника \( XBD \) равна 630 квадратных единиц.