Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 67 до 79. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с…
Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 67 до 79. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?
Чтобы решить эту задачу, давайте внимательно проанализируем, какие шкафчики подпрыгивают в ответ на произносимые натуральные числа.
Шкафчики имеют номера от 67 до 79. Это значит, что мы будем учитывать только эти номера. Шкафчик будет подпрыгивать, если его номер делится на произносимое число.
Начнем с изучения номеров шкафчиков:
- 67: делится на 1, 67
- 68: делится на 1, 2, 4, 17, 34, 68
- 69: делится на 1, 3, 23, 69
- 70: делится на 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
- 71: делится на 1, 71
- 72: делится на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
- 73: делится на 1, 73
- 74: делится на 1, 2, 37, 74
- 75: делится на 1, 3, 5, 15, 25, 75
- 76: делится на 1, 2, 4, 19, 38, 76
- 77: делится на 1, 7, 11, 77
- 78: делится на 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78
- 79: делится на 1, 79
Теперь определим, сколько раз каждый шкафчик подпрыгнул. Мы будем считать количество всех натуральных делителей (кроме самого числа, чтобы избежать ситуации, когда все шкафчики подпрыгивают):
- 67: 2 раза (1, 67)
- 68: 6 раз (1, 2, 4, 17, 34, 68)
- 69: 4 раза (1, 3, 23, 69)
- 70: 8 раз (1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70)
- 71: 2 раза (1, 71)
- 72: 12 раз (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72)
- 73: 2 раза (1, 73)
- 74: 4 раза (1, 2, 37, 74)
- 75: 6 раз (1, 3, 5, 15, 25, 75)
- 76: 6 раз (1, 2, 4, 19, 38, 76)
- 77: 4 раза (1, 7, 11, 77)
- 78: 8 раз (1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78)
- 79: 2 раза (1, 79)
Теперь находим максимальное число раз, которое подпрыгнул какой-либо шкафчик. Мы видим, что шкафчик с номером 72 подпрыгнул 12 раз, что является наибольшим числом.
Теперь нужно определить, какое произносимое число не приводит ни к одному прыгательному шкафчику. Этим числом будет 80, так как ни один шкафчик не имеет делителя, равного 80 или больше.
Таким образом, ответ на ваши вопросы:
- Число, на которое ни один шкафчик не среагировал — это 80.
- Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз — это шкафчик номер 72.
