Лена начала выписывать в порядке возрастания все числа, для которых одновременно выполняются следующие условия: Состоят из цифр 1 и 7; Имеют столько же единиц сколько семёрок…

Чтобы найти числа, которые подходят под заданные критерии, начнем с того, что такие числа должны состоять только из 1 и 7, а также количество единиц должно равняться количеству семёрок.

Пусть \( n \) — это количество единиц (1) и семёрок (7). Тогда длина числа будет равна \( 2n \) (например, для \( n = 1 \) число состоит из одной 1 и одной 7, т.е. 17 или 71).

Для чисел, которые делятся на 3, следует учитывать, что сумма цифр числа должна быть кратна 3. Сумма цифр числа, состоящего из \( n \) единиц и \( n \) семёрок, равна \( n \times 1 + n \times 7 = 8n \). Чтобы число делилось на 3, \( 8n \) должно быть кратно 3.

Теперь рассмотрим случаи для \( n = 1 \) и \( n = 2 \):

1. n = 1:

   • Возможные числа: 17, 71
   • Сумма цифр:
     • Для 17: \( 1 + 7 = 8 \) (не делится на 3)
     • Для 71: \( 7 + 1 = 8 \) (не делится на 3)

   Никакое число не подходит.

2. n = 2:

   • Возможные числа: 1177, 1717, 1771, 7117, 7171, 7711
   • Сумма цифр:
     • Для 1177: \( 1 + 1 + 7 + 7 = 16 \) (не делится на 3)
     • Для 1717: \( 1 + 7 + 1 + 7 = 16 \) (не делится на 3)
     • Для 1771: \( 1 + 7 + 7 + 1 = 16 \) (не делится на 3)
     • Для 7117: \( 7 + 1 + 1 + 7 = 16 \) (не делится на 3)
     • Для 7171: \( 7 + 1 + 7 + 1 = 16 \) (не делится на 3)
     • Для 7711: \( 7 + 7 + 1 + 1 = 16 \) (не делится на 3)

   Никакое число не подходит.

3. n = 3:

   • Возможные числа: 111777, 117717, 117771, 171177, 171771, 177117, 177171, 711177, 711717, 717117, 717171, 771111
   • Сумма цифр:
     • Для 111777: \( 1 + 1 + 1 + 7 + 7 + 7 = 24 \) (делится на 3)
     • Для 117717: \( 1 + 1 + 7 + 7 + 1 + 7 = 24 \) (делится на 3)
     • Для 117771: \( 1 + 1 + 7 + 7 + 7 + 1 = 24 \) (делится на 3)
     • Для 171177: \( 1 + 7 + 1 + 1 + 7 + 7 = 24 \) (делится на 3)
     • Для 171771: \( 1 + 7 + 1 + 7 + 7 + 1 = 24 \) (делится на 3)
     • Для 177117: \( 1 + 7 + 7 + 1 + 1 + 7 = 24 \) (делится на 3)
     • Для 177171: \( 1 + 7 + 7 + 1 + 7 + 1 = 24 \) (делится на 3)
     • Для 711177: \( 7 + 1 + 1 + 1 + 7 + 7 = 24 \) (делится на 3)
     • Для 711717: \( 7 + 1 + 1 + 7 + 1 + 7 = 24 \) (делится на 3)
     • Для 717117: \( 7 + 1 + 7 + 1 + 1 + 7 = 24 \) (делится на 3)
     • Для 717171: \( 7 + 1 + 7 + 1 + 7 + 1 = 24 \) (делится на 3)
     • Для 771111: \( 7 + 7 + 1 + 1 + 1 + 1 = 18 \) (делится на 3)

   Подходящие числа: 111777, 117717, 117771, 171177, 171771, 177117, 177171, 711177, 711717, 717117, 717171, 771111.

Теперь мы можем упорядочить их в порядке возрастания:

1. 111777
2. 117717
3. 117771
4. 171177
5. 171771
6. 177117
7. 177171
8. 711177
9. 711717
10. 717117
11. 717171
12. 771111

Таким образом, на втором месте стоит число 117717.