В футбольном турнире все команды должны были сыграть друг с другом ровно один раз. Однако уже во время турнира четыре команды отказались от участия. Мы знаем, что каждая из…

Для решения этой задачи давайте обозначим количество команд, которые стартовали в турнире, как \( n \). Если бы все команды сыграли друг с другом по одному разу, то общее количество игр можно было бы вычислить по формуле для комбинаций:

\[ C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2} \]

Однако известно, что четыре команды отказались от участия и каждая из них сыграла по две игры. Это означает, что эти четыре команды внесли в общее количество игр \( 4 \times 2 = 8 \) игр, которые фактически не должны были быть учтены, так как эти команды больше не участвовали в турнире.

Таким образом, общее количество сыгранных игр (56) равняется количеству игр между оставшимися командами плюс игривы, сыгранные выбывшими командами. Формула с учетом этого будет выглядеть следующим образом:

\[ \frac{n(n-1)}{2} - 8 = 56 \]

Решим это уравнение. Сначала преобразуем его:

\[ \frac{n(n-1)}{2} = 56 + 8 \] \[ \frac{n(n-1)}{2} = 64 \] \[ n(n-1) = 128 \]

Теперь найдем \( n \). Это квадратное уравнение можно решить перебором или методом подбора. Попробуем найти такие \( n \):

1. Если \( n = 16 \): \[ 16(16-1) = 16 \times 15 = 240 \quad (не подходит) \]

2. Если \( n = 15 \): \[ 15(15-1) = 15 \times 14 = 210 \quad (не подходит) \]

3. Если \( n = 14 \): \[ 14(14-1) = 14 \times 13 = 182 \quad (не подходит) \]

4. Если \( n = 13 \): \[ 13(13-1) = 13 \times 12 = 156 \quad (не подходит) \]

5. Если \( n = 12 \): \[ 12(12-1) = 12 \times 11 = 132 \quad (не подходит) \]

6. Если \( n = 11 \): \[ 11(11-1) = 11 \times 10 = 110 \quad (не подходит) \]

7. Если \( n = 10 \): \[ 10(10-1) = 10 \times 9 = 90 \quad (не подходит) \]

8. Если \( n = 9 \): \[ 9(9-1) = 9 \times 8 = 72 \quad (не подходит) \]

9. Если \( n = 8 \): \[ 8(8-1) = 8 \times 7 = 56 \quad (правильно, подходит!) \]

Таким образом, в турнире стартовало 12 команд.