Найти касательную к кривой y=x^3+x в точке с абсциссой x=1
Чтобы найти касательную к кривой \( y = x^3 + x \) в точке с абсциссой \( x = 1 \), нам нужно выполнить несколько шагов.
Найдем координаты точки касания. Подставим \( x = 1 \) в уравнение кривой: \[ y = 1^3 + 1 = 1 + 1 = 2. \] Таким образом, точка касания имеет координаты \( (1, 2) \).
Найдем производную функции. Производная \( y' \) даст нам угол наклона касательной: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + x) = 3x^2 + 1. \] Теперь подставим \( x = 1 \) в производную, чтобы найти угол наклона в этой точке: \[ y'(1) = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4. \] Таким образом, угол наклона касательной равен 4.
Запишем уравнение касательной. Используем точку \( (1, 2) \) и угол наклона 4. Уравнение касательной можно записать в точечном угловом виде: \[ y - y_0 = m(x - x_0), \] где \( (x_0, y_0) = (1, 2) \) и \( m = 4 \): \[ y - 2 = 4(x - 1). \] Упростим это уравнение: \[ y - 2 = 4x - 4 \implies y = 4x - 2. \]
Теперь у нас есть уравнение касательной: \( y = 4x - 2 \). Эта линия касается кривой \( y = x^3 + x \) в точке \( (1, 2) \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
