На сторонах CD и AD квадрата ABCD отмечены точки K и L соответственно. Оказалось, что BK=2KL, угол BKL=90°, BL=10. Найдите сторону квадрата

Рассмотрим квадрат ABCD со сторонами равной длины \( a \). Точки K и L расположены на сторонах CD и AD соответственно.

Дано, что:

• \( BK = 2KL \)
• угол \( BKL = 90^\circ \)
• \( BL = 10 \)

Пусть \( KL = x \). Согласно данным условиям, тогда \( BK = 2x \).

Рассмотрим треугольник BKL. Угол BKL является прямым, поэтому можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[ BL^2 = BK^2 + KL^2 \]

Подставим значения:

\[ 10^2 = (2x)^2 + x^2 \]

Это упростится до:

\[ 100 = 4x^2 + x^2 \] \[ 100 = 5x^2 \]

Теперь решим уравнение для \( x^2 \):

\[ x^2 = \frac{100}{5} = 20 \]

Следовательно,

\[ x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

Теперь подставим полученное значение \( x \) обратно в формулу для \( BK \):

\[ BK = 2x = 2(2\sqrt{5}) = 4\sqrt{5} \]

Теперь мы знаем, что \( K \) находится на стороне \( CD \) квадрата, а \( L \) на стороне \( AD \). Поскольку \( D \) имеет координаты \( (0, a) \), а \( C \) имеет координаты \( (a, a) \), можно определить координаты точек K и L.

Точка \( K \) будет иметь координаты \( (x_K, a) \), где \( x_K = a - KL = a - 2\sqrt{5} \).

Точка \( L \) будет иметь координаты \( (0, a - KL) = (0, a - 2\sqrt{5}) \).

Теперь используя координаты точек B, K и L, мы можем найти длину \( AB \):

Так как \( A \) — это \( (0, 0) \), а \( B \) — это \( (a, 0) \), длина \( BL = 10 \) дает:

\[ BL = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - (a - 2\sqrt{5}))^2} \] \[ 10 = \sqrt{a^2 + (2\sqrt{5})^2} \] \[ 10 = \sqrt{a^2 + 20} \]

Квадратируем обе стороны:

\[ 100 = a^2 + 20 \] \[ a^2 = 80 \] \[ a = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]

Таким образом, сторона квадрата \( ABCD \) равна \( 4\sqrt{5} \).