Имеется 8 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шариков разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа написал на коробках. Оказалось, что было написано 8 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках, если известно, что общее количество красных шариков такое же, как общее количество синих?

Для решения этой задачи начнем с анализа условий. У нас есть 8 коробок, в каждой из которых есть как минимум один синий, так и один красный шарик. Нам нужно, чтобы разница между количеством шариков разных цветов в каждой коробке дала 8 различных значений. Также известно, что общее количество красных и синих шариков одинаково.

Обозначим количество синих шариков в i-й коробке как \(b_i\), а количество красных шариков как \(r_i\). По условию задачи имеем разницу:

\[ d_i = |b_i - r_i| \]

Разница \(d_i\) может принимать следующие значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8, поскольку нам нужно 8 различных значений.

Для минимизации общего количества шариков во всех коробках, давайте найдем минимальные \(b_i\) и \(r_i\), которые будут соответствовать этим разницам.

1. Если разница \(d_1 = 1\), можно взять \(b_1 = 2\) и \(r_1 = 1\) или наоборот. Мы выберем \(b_1 = 2\) и \(r_1 = 1\).
2. Если \(d_2 = 2\), то \(b_2 = 3\) и \(r_2 = 1\) (или \(2\) и \(4\)). Выберем \(b_2 = 3\) и \(r_2 = 1\).
3. Если \(d_3 = 3\), то можно взять \(b_3 = 4\) и \(r_3 = 1\) (или \(3\) и \(6\)). Выберем \(b_3 = 4\) и \(r_3 = 1\).
4. Если \(d_4 = 4\), можно взять \(b_4 = 5\) и \(r_4 = 1\) (или \(1\) и \(5\)). Выберем \(b_4 = 5\) и \(r_4 = 1\).
5. Если \(d_5 = 5\), взяв \(b_5 = 6\) и \(r_5 = 1\) (или \(1\) и \(6\)). Выберем \(b_5 = 6\) и \(r_5 = 1\).
6. Если \(d_6 = 6\), можно взять \(b_6 = 7\) и \(r_6 = 1\) (или \(1\) и \(7\)). Выберем \(b_6 = 7\) и \(r_6 = 1\).
7. Если \(d_7 = 7\), взяв \(b_7 = 8\) и \(r_7 = 1\) (или \(1\) и \(8\)). Выберем \(b_7 = 8\) и \(r_7 = 1\).
8. Для \(d_8 = 8\) необходимо чтобы количество шариков было равным — одной из возможностей является \(b_8 = 9\) и \(r_8 = 1\) (или \(1\) и \(9\)). Выберем \(b_8 = 9\) и \(r_8 = 1\).

Теперь необходимо подсчитать общее количество шариков:

• Синие шарики: \[ b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 + b_7 + b_8 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44 \]
• Красные шарики (по условию в каждой коробке по одному красному): \[ r_1 + r_2 + r_3 + r_4 + r_5 + r_6 + r_7 + r_8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 8 \]

Таким образом, общее количество шариков: \[ 44 + 8 = 52 \]

Таким образом, минимальное количество шариков во всех коробках составляет 52.