17:24 °5 В одной комнате собрались 5 девочек: Аня, Белла, Вера, Галя и Даша -- и подсчитали количество съеденных ими за неделю конфет. Оказалось, что если из комнаты выйдет Аня,…
17:24 °5 В одной комнате собрались 5 девочек: Аня, Белла, Вера, Галя и Даша -- и подсчитали количество съеденных ими за неделю конфет. Оказалось, что если из комнаты выйдет Аня, то среднее арифметическое количества съеденных за неделю конфет четырёх оставшихся девочек будет равно 59. Аналогично без Беллы это число будет равно 53, без Веры - 57, без Гали - 56, без Даши - 45. Как зовут девочку, которая съела меньше всего конфет за эту неделю? Аня Белла Вера Галя Даша Сколько конфет она съела?
Давайте решим эту задачу вместе. Обозначим количество конфет, съеденных каждой девочкой, как \(A\), \(B\), \(V\), \(G\) и \(D\) соответственно.
Согласно условиям задачи, если исключить Аню, то среднее количество конфет для оставшихся четырех девочек равно 59. Это можно записать следующим образом:
\[ \frac{B + V + G + D}{4} = 59 \implies B + V + G + D = 236 \quad (1) \]
Если исключить Беллу, то:
\[ \frac{A + V + G + D}{4} = 53 \implies A + V + G + D = 212 \quad (2) \]
Если исключить Веру, то:
\[ \frac{A + B + G + D}{4} = 57 \implies A + B + G + D = 228 \quad (3) \]
Если исключить Галю, то:
\[ \frac{A + B + V + D}{4} = 56 \implies A + B + V + D = 224 \quad (4) \]
Если исключить Дашу, то:
\[ \frac{A + B + V + G}{4} = 45 \implies A + B + V + G = 180 \quad (5) \]
Теперь у нас есть система из пяти уравнений. Мы можем выразить каждую девочку через остальные:
Из уравнения (1) мы можем выразить \(D\):
\[ D = 236 - B - V - G \quad (6) \]
Теперь подставим (6) в уравнение (2):
\[ A + V + G + (236 - B - V - G) = 212 \implies A - B + 236 = 212 \implies A - B = -24 \implies A = B - 24 \quad (7) \]
Теперь подставим (6) в уравнение (3):
\[ A + B + G + (236 - B - V - G) = 228 \implies A - V + 236 = 228 \implies A - V = -8 \implies A = V - 8 \quad (8) \]
Теперь подставим (7) в (8):
\[ B - 24 = V - 8 \implies B = V + 16 \quad (9) \]
Теперь подставим (6) в уравнение (4):
\[ A + B + V + (236 - B - V - G) = 224 \implies A - G + 236 = 224 \implies A - G = -12 \implies A = G - 12 \quad (10) \]
Теперь подставим (9) в (10):
\[ B - 24 = G - 12 \implies B = G + 12 \quad (11) \]
Теперь подставим (9) в уравнение (5):
\[ A + (V + 16) + V + G = 180 \\ (V - 8) + (V + 16) + V + G = 180 \\ 3V + G + 8 = 180 \implies G = 172 - 3V \quad (12) \]
Теперь подставим (12) в (11):
\[ B = (172 - 3V) + 12 = 184 - 3V \quad (13) \]
И подставим (11) в (9):
\[ A = (184 - 3V) + 16 = 200 - 3V \quad (14) \]
Теперь у нас есть все девочки выражены через \(V\):
- \(A = 200 - 3V\)
- \(B = 184 - 3V\)
- \(G = 172 - 3V\)
- \(D = 236 - (184 - 3V) - V - (172 - 3V) = 236 - 184 + 3V - V - 172 + 3V = 236 - 184 - 172 + 5V = -120 + 5V\)
Теперь, чтобы найти минимальное значение, обратим внимание на зависимость от \(V\). Убедившись, что все выражения положительные, найдем, что меньше всего конфет могла съесть Даша, когда \(V\) максимальная.
Если назначить \(V\) равным 45 (так как без Даши среднее 45) и подставить это:
- \(D = -120 + 5 \cdot 45 = -120 + 225 = 105\)
- \(G = 172 - 3 \cdot 45 = 172 - 135 = 37\)
- \(B = 184 - 3 \cdot 45 = 184 - 135 = 49\)
- \(A = 200 - 3 \cdot 45 = 200 - 135 = 65\)
Теперь рассматриваем варианты Даша съела меньше всего конфет:
Таким образом, девочку, которая съела меньше всего конфет, зовут Галя, и она съела 37 конфет за неделю.
