В кругу сидели 20 болельщиков команд «Шайба» и «Зубило». Каждый болел ровно за одну из этих двух команд. Каждый болельщик сказал своему соседу слева одну из двух фраз: или «ты…
В кругу сидели 20 болельщиков команд «Шайба» и «Зубило». Каждый болел ровно за одну из этих двух команд. Каждый болельщик сказал своему соседу слева одну из двух фраз: или «ты болеешь за ту же команду, что и мой сосед справа», или «вы с моим соседом справа болеете за разные команды». Оказалось, что ровно половина болельщиков сказала первую фразу и ровно половина — вторую. При этом каждый говорил правду, если обращался к своему единомышленнику (болеющему за ту же команду), и лгал, если обращался к фанату другой команды. Какое максимальное количество болельщиков «Шайбы» могло быть?
Обозначим количество болельщиков команды «Шайба» как \( S \), а количество болельщиков команды «Зубило» как \( Z \). У нас есть 20 болельщиков, так что \( S + Z = 20 \).
Каждый болельщик сказал одну из двух фраз. Половина болельщиков (10) сказала первую фразу: "ты болеешь за ту же команду, что и мой сосед справа", а другая половина (10) — вторую фразу: "вы с моим соседом справа болеете за разные команды".
- Если болельщик команды «Шайба» говорит правду, это происходит в том случае, если его сосед слева также болеет за «Шайбу». В этом случае он говорит первую фразу.
- Если болельщик команды «Шайба» говорит ложь, это происходит, если его сосед слева болеет за «Зубило», тогда он говорит вторую фразу.
Аналогично для болельщиков команды «Зубило».
Пусть \( a \) — количество болельщиков «Шайбы», которые сказали первую фразу, и \( b \) — количество болельщиков «Зубило», которые сказали первую фразу. Тогда:
- Для подлиц, болеющих за «Шайбу», фраза «вы с моим соседом справа болеете за разные команды» будет верной для всех, кто направлен к соседям из «Зубило».
- Соответственно, \( a + (10 - b) = 10 \).
Мы знаем, что:
- \( a + b = 10 \) (половина от всех болельщиков сказали первую фразу)
- \( (S - a) + (Z - b) = 10 \) (половина от всех болельщиков сказала вторую фразу).
Давайте подставим \( S = 20 - Z \) и выразим \( a \) и \( b \) через \( S \) и \( Z \).
Тогда у нас получится система уравнений. Каждое из болельщиков 'Шайбы', сказавших первую фразу, должно соответствовать болельщику 'Зубило', сказавших вторую.
Итак, чтобы максимизировать количество болельщиков «Шайбы», мы можем попробовать разные варианты распределения и проверять, как это влияет на правда и ложь.
При проверке на равенство при максимум, мы можем попробовать провести распределение, когда 'Зубило' будет минимально, например, 10 - 0 (10 'Шайбы' - 0 'Зубило'). Пробуем 15 и 5.
В итоге, максимальное возможное количество болельщиков команды «Шайба» будет 15.
