Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами 90 восьми до 111. Однажды ночью барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда,…

Чтобы решить задачу, нам нужно выяснить, до какого числа барабашка сможет продолжать произносить числа, пока хотя бы один шкафчик не «откликнется» на него. Шкафчики имеют номера от 90 до 111.

Шкафчик подпрыгивает, когда номер шкафчика делится на произносимое число. Следовательно, никакой шкафчик не подпрыгнет, если произнесённое число больше 111, так как все шкафчики имеют номера в диапазоне от 90 до 111.

Мы можем найти наибольшее число, при произнесении которого хотя бы один шкафчикоткликнется. Это будет самое большое число, которое делит хотя бы один из номеров шкафчиков с 90 по 111. Наименьшее число, которое не делит ни один из этих номеров, будет равно 112 (так как 112 > 111).

Теперь определим, какой шкафчик подпрыгнул наибольшее количество раз. Для этого, необходимо выяснить, сколько раз каждый шкафчик реагирует на числа от 1 до 111. Это зависит от того, сколько чисел между 1 и 111 делится на номер шкафчика.

Номера шкафчиков в диапазоне 90-111:

• 90: делится на 1, 2, ..., 90 (90 раз)
• 91: делится на 1, 7, 13, 91 (4 раза)
• 92: делится на 1, 2, 4, 23, 46, 92 (6 раз)
• 93: делится на 1, 3, 31, 93 (4 раза)
• 94: делится на 1, 2, 47, 94 (4 раза)
• 95: делится на 1, 5, 19, 95 (4 раза)
• 96: делится на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 (12 раз)
• 97: делится на 1, 97 (2 раза)
• 98: делится на 1, 2, 7, 14, 49, 98 (6 раз)
• 99: делится на 1, 3, 9, 11, 33, 99 (6 раз)
• 100: делится на 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 (9 раз)
• 101: делится на 1, 101 (2 раза)
• 102: делится на 1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102 (8 раз)
• 103: делится на 1, 103 (2 раза)
• 104: делится на 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104 (8 раз)
• 105: делится на 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 (8 раз)
• 106: делится на 1, 2, 53, 106 (4 раза)
• 107: делится на 1, 107 (2 раза)
• 108: делится на 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108 (12 раз)
• 109: делится на 1, 109 (2 раза)
• 110: делится на 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110 (8 раз)
• 111: делится на 1, 3, 37, 111 (4 раза)

Наибольшее количество реакций мы видим у шкафчиков 90 и 108 по 90 и 12 соответственно.

Сводя все вместе, мы имеем:

• Число, при произнесении которого ни один шкафчик не ответит - это 112.
• Шкафчик, который подпрыгнул наибольшее количество раз - это шкафчик под номером 90.

Ответ:

• Число: 112
• Шкафчик: 90