Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами 98 до 111. Однажды ночью барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с…
Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами 98 до 111. Однажды ночью барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с одного. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, противном случае стоит смирно. безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответе на которая ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?
Шкафчики имеют номера от 98 до 111. Мы будем произносить натуральные числа и наблюдать, будут ли шкафчики реагировать на них.
Шкафчик подпрыгивает, если номер шкафчика делится на произнесенное число. То есть, шкафчик номер \( n \) будет реагировать на числа, которые являются делителями \( n \).
Теперь мы выясним, на каких числах не будет реакции ни одного шкафа.
- Шкафчики имеют номера от 98 до 111, и их нужно проверить. Начнем с изучения чисел от 1 до 13 (поскольку 13 > 12, и больше делителей у шкафчиков не будет).
- Зафиксируем реакцию шкафчиков на числа от 1 до 12:
- Для 1: все шкафчики подпрыгнут (98, 99, ..., 111).
- Для 2: шкафчики с четными номерами 98, 100, 102, 104, 106, 108, 110 подпрыгнут.
- Для 3: шкафчики, делящиеся на 3 (99, 102, 105, 108, 111).
- Для 4: 100, 104, 108.
- Для 5: 100, 105, 110.
- Для 6: 102, 108.
- Для 7: 105.
- Для 8: 104.
- Для 9: 99.
- Для 10: 100.
- Для 11: 99, 110.
- Для 12: 108.
Теперь найдем все настоящие делители для каждого номера шкафчика и сгенерируем диапазон чисел, когда ни один шкафчик не будет реагировать.
Наименьшее число, на которое не реагирует ни один шкафчик, - это 13, потому что:
- Никакой шкафчик не может быть кратным 13 (все они меньше 13).
Теперь определим, какой шкафчик подпрыгнул наибольшее число раз.
Суммируем, сколько раз каждый шкафчик реагирует на числа до 12:
- Для 98: 1 (на 1), 1 (на 2), 1 (на 7) = 3
- Для 99: 1 (на 1), 1 (на 3), 1 (на 9), 1 (на 11) = 4
- Для 100: 1 (на 1), 1 (на 2), 1 (на 4), 1 (на 5), 1 (на 10) = 5
- Для 101: 1 (на 1) = 1
- Для 102: 1 (на 1), 1 (на 2), 1 (на 3), 1 (на 6) = 4
- Для 103: 1 (на 1) = 1
- Для 104: 1 (на 1), 1 (на 2), 1 (на 4), 1 (на 8) = 4
- Для 105: 1 (на 1), 1 (на 3), 1 (на 5), 1 (на 7) = 4
- Для 106: 1 (на 1), 1 (на 2) = 2
- Для 107: 1 (на 1) = 1
- Для 108: 1 (на 1), 1 (на 2), 1 (на 3), 1 (на 4), 1 (на 6) = 5
- Для 109: 1 (на 1) = 1
- Для 110: 1 (на 1), 1 (на 2), 1 (на 5), 1 (на 10) = 4
- Для 111: 1 (на 1), 1 (на 3) = 2
Наибольшее количество раз подпрыгнули шкафчики 100 и 108, по 5 раз каждый.
Таким образом, окончательный ответ:
- Число, на которое ни один шкафчик не отреагировал - 13.
- Шкафчик, подпрыгнувший наибольшее число раз - номер 100 и 108, по 5 раз.
