В треугольник со сторонами 4, 5 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…
В треугольник со сторонами 4, 5 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?
Чтобы найти наименьшее расстояние от вершины треугольника до касательной точки вписанной окружности, нам нужно использовать свойства сторон и формулы для треугольника.
Давай обозначим вершины треугольника как A, B и C, а длины сторон как a = 4, b = 5 и c = 8. Радиус вписанной окружности (r) находится по формуле:
\[ r = \frac{S}{p} \]
где S — площадь треугольника, а p — полупериметр.
Сначала мы найдем полупериметр:
\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 8}{2} = 8.5. \]
Теперь найдем площадь S треугольника. Площадь можно вычислить по формуле Герона:
\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. \]
Подставим значения:
\[ S = \sqrt{8.5(8.5-4)(8.5-5)(8.5-8)} \] \[ S = \sqrt{8.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 0.5}. \]
Посчитаем:
- \( 8.5 - 4 = 4.5 \)
- \( 8.5 - 5 = 3.5 \)
- \( 8.5 - 8 = 0.5 \)
Теперь считаем:
\[ S = \sqrt{8.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 0.5}. \]
Выполнив вычисления, мы можем получить значение площади. После нахождения площади можно посчитать радиус вписанной окружности:
\[ r = \frac{S}{8.5}. \]
Расстояние от вершины до точки касания окружности с одной из сторон треугольника равно \( \frac{S}{p} \) и зависит от стороны, к которой эта вершина относится. Для каждого угла треугольника это расстояние равно:
- Для стороны a (4) — \( s_a = r \cdot \frac{p-a}{p} \)
- Для стороны b (5) — \( s_b = r \cdot \frac{p-b}{p} \)
- Для стороны c (8) — \( s_c = r \cdot \frac{p-c}{p} \)
Легко увидеть, что нам нужны значения расстояний от всех трех вершин до касательных.
Таким образом, подсчитывая, мы найдем эти расстояния и выберем наименьшее из них. Расстояние от каждой вершины будет равно:
Для стороны a:
\[ d_A = 4.5, \] Для стороны b:
\[ d_B = 3.5, \] Для стороны c:
\[ d_C = 0.5. \]
Наименьшее из этих расстояний — 0.5.
Таким образом, ответ: наименьшее расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно 0.5.
