Дан треугольник АВС с углом В, равным 60°. В точках А и С провели две касательные к описанной окружности АВС, пересекающиеся в точке Р. Перпендикуляр к ВС, восстановленный в точке С, пересекает прямую АВ в точке Q. Найдите ∠CQP, если ВАС 70°.
Для решения задачи о треугольнике \(ABC\) с углом \(B\), равным \(60^\circ\), и углом \(BAC\), равным \(70^\circ\), начнём с определения угла \(C\):
\[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 70^\circ - 60^\circ = 50^\circ. \]
Теперь рассмотрим точки \(A\) и \(C\), из которых проведены касательные к описанной окружности. Поскольку касательные к окружности из одной точки равны, мы знаем, что:
\[ AP = AC \quad \text{и} \quad CP = AB. \]
Пусть \(K\) — это точка касания касательной от \(A\) к окружности, а \(M\) — это точка касания касательной от \(C\). Известно, что углы между касательной и радиусом, проведённым в точку касания, равны \(90^\circ\). Таким образом, \( \angle APR = 90^\circ\) и \( \angle CPR = 90^\circ\).
Перпендикуляр из \(C\) к стороне \(BC\) пересекает прямую \(AB\) в точке \(Q\). Это значит, что угол \(CQP\) — это угол между \(PQ\) и \(CQ\).
Поскольку \(PQ\) — это линия, касающаяся окружности, мы можем применить теорему о углах. Рассмотрим треугольник \(CQP\):
- Углы \(CQP\) и \(C\) связаны через угол между касательной и стороной, проведенной к окружности. Мы знаем, что \(C\) равен \(50^\circ\).
- Угол между касательной (линией \(PQ\)) и линией, проведённой из точки касания (в данном случае \(CQ\)), равен углу \(C\).
Поэтому:
\[ \angle CQP = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ. \]
Резюмируя, мы получаем,
\[ \angle CQP = 40^\circ. \]
Так что ответ: угол \(CQP\) равен \(40^\circ\).
