В треугольник со сторонами 4, 5 и 6 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…

Для решения задачи сначала найдем полупериметр треугольника. Полупериметр \( p \) определяется как сумма сторон треугольника, деленная на 2:

\[ p = \frac{4 + 5 + 6}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \]

Теперь вычислим площади треугольника. Мы можем использовать формулу Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

где \( a = 4 \), \( b = 5 \), \( c = 6 \):

\[ S = \sqrt{7.5(7.5-4)(7.5-5)(7.5-6)} = \sqrt{7.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5} \]

Сначала посчитаем произведение:

\[ 7.5 \cdot 3.5 = 26.25 \] \[ 2.5 \cdot 1.5 = 3.75 \] Теперь перемножим оба результата:

\[ 26.25 \cdot 3.75 = 98.4375 \] Теперь извлечем квадратный корень:

\[ S = \sqrt{98.4375} \approx 9.92 \]

Для нахождения радиуса вписанной окружности \( r \) используем формулу:

\[ r = \frac{S}{p} \]

Подставим значения:

\[ r \approx \frac{9.92}{7.5} \approx 1.32 \]

Следующий шаг — найти расстояния от вершин до ближайшей точки касания вписанной окружности. Эти расстояния равны радиусу вписанной окружности \( r \) (поскольку они перпендикулярны к сторонам), уменьшенному на длины отрезков, на которые делятся стороны, благодаря точкам касания.

Обозначим расстояния от вершин до касательных точек \( d_A, d_B, d_C \):

\[ d_A = r = 1.32 \quad (A \text{ соответствует стороне } BC, \text{ длина } 5) \] \[ d_B = r = 1.32 \quad (B \text{ соответствует стороне } CA, \text{ длина } 6) \] \[ d_C = r = 1.32 \quad (C \text{ соответствует стороне } AB, \text{ длина } 4) \]

Полученные расстояния равны радиусу вписанной окружности, поэтому мы находим, что наименьшее из расстояний:

\[ \min(d_A, d_B, d_C) = r \approx 1.32 \]

Таким образом, наименьшее расстояние от какой-либо вершины треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности:

\[ \approx 1.32 \]