В единичном Кубе АВСDА1В1С1D1 растояние от точке С до плоскости АВ1D

Чтобы найти расстояние от точки \( C \) до плоскости \( AB_1D \) в единичном кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), начнем с определения координат точек куба.

Пусть куб задан следующим образом:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B(1, 0, 0) \)
• \( C(1, 1, 0) \)
• \( D(0, 1, 0) \)
• \( A_1(0, 0, 1) \)
• \( B_1(1, 0, 1) \)
• \( C_1(1, 1, 1) \)
• \( D_1(0, 1, 1) \)

Координаты точки \( C \) равны \( (1, 1, 0) \).

Теперь рассмотрим плоскость \( AB_1D \). Чтобы определить уравнение этой плоскости, найдем три точки, которые на ней находятся:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B_1(1, 0, 1) \)
• \( D(0, 1, 0) \)

Сначала найдем векторы, лежащие в плоскости:

• Вектор \( \vec{AB_1} = B_1 - A = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1) \)
• Вектор \( \vec{AD} = D - A = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) = (0, 1, 0) \)

Теперь найдем нормаль к плоскости, вычисляя векторное произведение этих двух векторов: \[ \vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \hat{j}(1 \cdot 0 - 0 \cdot 1) + \hat{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = -\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k} = (-1, 0, 1). \]

Уравнение плоскости в общем виде: \( Ax + By + Cz + D = 0 \). Подставляем координаты нормали и точку \( A(0, 0, 0) \): \[ -1 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z + D = 0. \] Для точки \( A(0, 0, 0) \): \[ -1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + D = 0 \implies D = 0. \] Уравнение плоскости: \( -x + z = 0 \) или \( z = x \).

Теперь найдем расстояние от точки \( C(1, 1, 0) \) до плоскости \( z = x \). Используем формулу для расстояния от точки до плоскости: \[ \text{Расстояние} = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}, \] где \( (x_0, y_0, z_0) \) - координаты точки, а \( A, B, C, D \) - коэффициенты плоскости.

Подставляем в формулу:

• \( A = -1, B = 0, C = 1, D = 0 \)
• \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 1, 0) \)

Расстояние: \[ \text{Расстояние} = \frac{|-1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1 + 0 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

Таким образом, расстояние от точки \( C \) до плоскости \( AB_1D \) равно \( \frac{1}{\sqrt{2}} \).