В треугольник со сторонами 4, 5 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?

Чтобы найти наименьшее расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности, сначала нужно вспомнить, что радиус вписанной окружности (r) треугольника можно вычислить по формуле:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где \( S \) — площадь треугольника, а \( p \) — полупериметр.

1. Сначала найдем полупериметр \( p \): \[ p = \frac{4 + 5 + 8}{2} = \frac{17}{2} = 8.5 \]

2. Теперь найдем площадь \( S \) треугольника с помощью формулы Герона: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] где \( a = 4, b = 5, c = 8 \).

Подставим значения: \[ S = \sqrt{8.5(8.5 - 4)(8.5 - 5)(8.5 - 8)} \] \[ S = \sqrt{8.5 \times 4.5 \times 3.5 \times 0.5} \]

Вычислим:

• \( 8.5 - 4 = 4.5 \)
• \( 8.5 - 5 = 3.5 \)
• \( 8.5 - 8 = 0.5 \)

Теперь подставим: \[ S = \sqrt{8.5 \times 4.5 \times 3.5 \times 0.5} \]

Посчитаем это значение: \[ 8.5 \times 4.5 = 38.25 \] \[ 38.25 \times 3.5 = 133.875 \] \[ 133.875 \times 0.5 = 66.9375 \]

Теперь найдем квадратный корень: \[ S \approx 8.2 \]

3. Теперь можем найти радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{8.2}{8.5} \approx 0.9647 \]

4. Далее, расстояние от вершины до точки касания окружности с каждой стороной можно вычислить следующим образом:

• Для стороны \( a = 4 \): расстояние от вершины, противоположной к этой стороне, до точки касания вычисляется как: \[ d_A = r = 0.9647 \]
• Для стороны \( b = 5 \): аналогично: \[ d_B = r = 0.9647 \]
• Для стороны \( c = 8 \): \[ d_C = r = 0.9647 \]

Поскольку все три расстояния равны (это связано с симметрией треугольника и вписанной окружности), наименьшее из этих расстояний: \[ \text{Наименьшее расстояние} = r \approx 0.9647 \]

Таким образом, наименьшее расстояние от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно aproximadamente 0.965.