В треугольник со сторонами 4, 5 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…

Для нахождения расстояний от вершин треугольника до точек касания вписанной окружности, первым делом найдем полупериметр треугольника.

Стороны треугольника обозначим как \( a = 4 \), \( b = 5 \), \( c = 8 \). Полупериметр \( p \) равен:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 8}{2} = \frac{17}{2} = 8.5 \]

Теперь найдем длины отрезков, которые соответствуют расстояниям от вершин треугольника до точек касания вписанной окружности. Эти длины обозначаются как \( s_a \), \( s_b \) и \( s_c \) для вершин \( A \), \( B \) и \( C \) соответственно, где:

• \( s_a = p - a \)
• \( s_b = p - b \)
• \( s_c = p - c \)

Теперь находим каждый из этих отрезков:

\[ s_a = p - a = 8.5 - 4 = 4.5 \] \[ s_b = p - b = 8.5 - 5 = 3.5 \] \[ s_c = p - c = 8.5 - 8 = 0.5 \]

Теперь мы имеем три расстояния:

• \( s_a = 4.5 \)
• \( s_b = 3.5 \)
• \( s_c = 0.5 \)

Наименьшее из этих расстояний равно \( 0.5 \).

Таким образом, наименьшее расстояние от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно:

\[ \boxed{0.5} \]