Дима отправился гулять по квадрату 60 × 60, от правого нижнего угла к центру. Сперва он идёт по нижней строке до второго столбца, поворачивает направо, доходит до третьей сверху…
Дима отправился гулять по квадрату 60 × 60, от правого нижнего угла к центру. Сперва он идёт по нижней строке до второго столбца, поворачивает направо, доходит до третьей сверху строки, поворачивает направо, доходит до четвёртого справа столбца и т. д., пока не окажется в одной из четырёх центральных клеток. На рисунке изображён такой путь для доски 8 × 8, он состоит из 16 клеток. Определите длину пути для доски 60 × 60. Число Ответ можно сохранять несколько раз Сохранить ответ
Для решения задачи о пути Димы по квадратной доске 60 × 60, давайте проанализируем, каким образом он движется.
Дима начинает свой путь из правого нижнего угла доски и продвигается в несколько этапов:
- Сначала он идет по нижней строке (60-я строка) до второго столбца. Это длина пути 1.
- Затем он поворачивает направо и движется на третью строку снизу (58-я строка) до третьего столбца. Это длина пути 2.
- После этого он снова поворачивает направо и идет до четвертого столбца (57-я строка). Это длина пути 3.
- Этот процесс продолжается, пока он не достигнет одной из четырех центральных клеток.
Чтобы определить длину пути, можем заметить, что каждый раз Дима делает шаг по строке/столбцу, затем поворачивает и идет на одну клетку вверх или влево, что увеличивает общую длину пути.
Давайте посмотрим на порядок ходов более явно:
- Сначала он идет от (60,60) до (60,2): длина 58 (двигаясь по строке).
- Затем он поворачивает и идет от (60,2) до (58,2): длина 2.
- Далее поворачивает и движется до (58,3): длина 1.
- Затем снова поворачивает и идет до (57,3): длина 1.
- Далее поворачивает и идет до (57,4): длина 1.
- И так далее.
Каждый раз Дима будет двигаться по одному из направлений (вправо, вверх, влево и вниз), пока не дойдет до одной из центральных клеток. Центральные клетки находятся в позициях (30,30), (30,31), (31,30) и (31,31).
Точные шаги будут повторяться таким образом, что в целом путь будет состоять из сумм последовательных составляющих длины.
Для доски 60 × 60, вся длина пути может быть сведена к количеству клеток, через которые он пройдет. Каждую сторону пути можно выразить через 2n, в этом случае будет 60 клеток на стороне, и, соответствующим образом, путь будет равен:
Длина пути = 58 + 2 + 1 + 1 + ... вплоть до достижения одной из центральных клеток.
Рассмотрим, что это будет повторяться и общий путь составит:
Длина пути = 2 * (число поворотов) + шаги по направлению.
Если обобщить, путь Димы для 60 × 60 будет равен 58 + количество поворотов + вертикальные и горизонтальные длины.
Результатом будет 16 клеток, как в примере для доски 8 × 8.
Итак, длина пути для доски 60 × 60 составит 120 клеток (поскольку это большая квадратная сетка).
Подводя итог, длина пути для 60 × 60 составляет 120.
