Имеется коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между…

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество красных шариков в коробке как \( r \), а количество синих шариков — как \( b \). Разница, которую нашёл Коля, между количеством шариков в одной коробке будет равна \( |r - b| \).

Поскольку в каждой коробке хотя бы один синий и один красный шарик, то \( r \geq 1 \) и \( b \geq 1 \). Таким образом, разница \( |r - b| \) может принимать значения от \( 1 \) до \( M \), где \( M \) — максимальная разница между количеством красных и синих шариков в разных коробках.

Пусть \( d = |r - b| \). Так как Коля записал 13 разных чисел разницы, это значит, что разности могут принимать значения от 1 до 13. Каждое значение разности можно получить различными сочетаниями \( r \) и \( b \). Например:

• Для \( d = 1 \): \( (2, 1) \) или \( (1, 2) \)
• Для \( d = 2 \): \( (3, 1) \) или \( (1, 3) \) и так далее.

Таким образом, для получения всех 13 различных разностей от 1 до 13, необходимо, чтобы разница между количеством красных и синих шариков была равна \( d \) от 1 до 13.

Теперь давайте определим минимальное количество шариков в каждой коробке, зная, что общее количество красных и синих шариков одинаково. Это может быть достигнуто, если в каждой коробке у нас как минимум один шарик каждого цвета, т.е. минимальные значения \( r + b \) в каждой коробке.

Если разницы достигают 1, 2, ..., 13, то общее количество \( r + b \) для каждой коробки будет как минимум:

• При \( d = 1 \): \( (1, 2) \) или \( (2, 1) \) = 3
• При \( d = 2 \): \( (1, 3) \) или \( (3, 1) \) = 4
• ...
• При \( d = 13 \): \( (1, 14) \) или \( (14, 1) \) = 15

Объединив все значения, минимальное количество шариков (для 13 коробок) будет:

\[ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 111. \]

Однако, чтобы соблюсти условие равенства общего количества красных и синих шариков, нам нужно учесть, что каждый цвет должен быть одинаков в сумме для всех коробок.

Таким образом, если мы установим минимальное значение одним шариком каждого цвета для каждой разницы и будем чередовать количество так, чтобы все 13 разностей покрывались, минимальное количество шариков может быть:

• 7 красных шариков и 7 синих — итого 14 для первой коробки
• И далее подключая другие минимальные пары для соблюдения всех разностей.

Поэтому общее минимальное количество шариков будет 26, поскольку оно поддерживает равное количество красных и синих, и чтобы вложиться в условия задачи и получить 13 различных натуральных разностей \( d \).

В итоге, минимальное количество шариков во всех коробках составляет 26.