Имеется 12 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между…
Имеется 12 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шариков разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа написал на коробках. Оказалось, что было написано 12 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках, если известно, что общее количество красных шариков такое же, как общее количество синих?
Чтобы решить эту задачу, давайте разберем условия по шагам.
Определение переменных: Пусть \( b_i \) - количество синих шариков в \( i \)-й коробке, а \( r_i \) - количество красных шариков в той же коробке. Поскольку в каждой коробке должно быть хотя бы один синий и один красный шарик, то \( b_i \geq 1 \) и \( r_i \geq 1 \).
Разница между количеством шариков: Коля нашёл разницу \( d_i = |b_i - r_i| \) для каждой коробки. Условие задачи гласит, что все 12 значений \( d_i \) разные. Так как разница может принимать любые значения, причем минимальное значение - 1 (поскольку в каждой коробке хотя бы один шарик каждого цвета), максимальное значение также ограничено.
Суммирование шариков: Нам известно, что общее количество красных и синих шариков одинаково, то есть \[ \sum_{i=1}^{12} r_i = \sum_{i=1}^{12} b_i. \]
Минимизация количества шариков: Чтобы минимизировать общее количество шариков, мы можем выбирать такие комбинации \( b_i \) и \( r_i \), которые обеспечивают необходимые условия разности и равенства сумм. Поскольку у нас 12 уникальных разностей, давайте рассмотрим последовательные значения от 1 до 12.
Конструкция коробок: Для 12 разных разностей мы можем установить: \[ d_1 = 1, \quad d_2 = 2, \quad d_3 = 3, \quad \ldots, \quad d_{12} = 12. \] Для достижения разности \( d_i \) можно взять:
- Если \( d_i = k \), то можно взять \( b_i = k + 1 \) и \( r_i = 1 \). По такой схеме \( d_1 = 1 \) соответствует \( b_1 = 2, r_1 = 1 \); \( d_2 = 2 \) соответствует \( b_2 = 3, r_2 = 1 \) и так далее.
Вычисление общего количества шариков: \[ b_i = d_i + 1 \quad \text{и} \quad r_i = 1 \quad (для \; i = 1, \ldots, 12). \] Таким образом, общее количество шариков: \[ \sum_{i=1}^{12} b_i = (1+1) + (2+1) + (3+1) + \ldots + (12+1) = 2 \cdot 12 + (1 + 2 + 3 + \ldots + 12). \] Сумма первых 12 натуральных чисел равна \[ \frac{12 \cdot (12 + 1)}{2} = 78. \] Таким образом, общее количество синих шариков: \[ 12 + 78 = 90. \]
Так как количество красных и синих одинаково, общее количество шариков будет \( 90 + 90 = 180 \).
Таким образом, минимальное количество шариков, которое может лежать суммарно во всех коробках, равно 180.
