Родители с сыном отправились по тропе к озеру. Сын сразу пошёл вперед, а дойдя до озера, повернул назад и шёл, пока не встретил идущих медленнее родителей. Длина его пути до озера…

Давайте обозначим:

• \( S_s \) — скорость сына,
• \( S_p \) — скорость родителей,
• \( t_1 \) — время, затраченное сыном на путь до озера,
• \( t_2 \) — время, затраченное сыном на путь назад до родителей.

С учетом данных, длина пути сына до озера равна 800 шагам, а длина пути обратно — 600 шагам. Сын потратил в общей сложности 20 минут на оба пути:

\[ t_1 + t_2 = 20 \text{ минут} \]

Скорость определяем как расстояние, деленное на время:

\[ S_s = \frac{800}{t_1} \quad (1) \] \[ S_s = \frac{600}{t_2} \quad (2) \]

Из уравнений (1) и (2) можем выразить \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ t_1 = \frac{800}{S_s} \quad (3) \] \[ t_2 = \frac{600}{S_s} \quad (4) \]

Подставим (3) и (4) в уравнение \( t_1 + t_2 = 20 \):

\[ \frac{800}{S_s} + \frac{600}{S_s} = 20 \]

Сложим дроби:

\[ \frac{800 + 600}{S_s} = 20 \] \[ \frac{1400}{S_s} = 20 \]

Теперь выразим скорость сына:

\[ S_s = \frac{1400}{20} = 70 \text{ шагов в минуту} \]

Теперь подставим значение скорости в (3) и (4):

\[ t_1 = \frac{800}{70} \approx 11.43 \text{ минут} \] \[ t_2 = \frac{600}{70} \approx 8.57 \text{ минут} \]

Теперь найдем время, которое потратили родители на путь до озера. Время, за которое сын вернулся к родителям, составляет \( t_2 \). За это время родители прошли часть пути к озеру:

\[ d_p = S_p \cdot t_2 \]

Скорость родителей \( S_p \) выразим через \( t_1 \):

Так как родители идут медленнее, они прошли определенное расстояние до встречи с сыном. Действительное время, которое они используют, чтобы дойти до озера после встречи с сыном, будет равно разнице между общим временем, оставшимся до 20 минут, и временем, потраченным с момента встречи с сыном до выхода на озеро.

Теперь придется учитывать, сколько времени им осталось до озера. Расстояние, оставшееся до озера, равно (длина пути до озера минус пройденное расстояние родителями):

Путь до озера = 800 шагов, до встречи они прошли \( S_p \cdot t_2 \).

Используя обозначения:

Путь до родителей \( S_p = \frac{800}{t_1 + t_2} = \frac{800}{20} = 40 \text{ шагов в минуту}\)

Теперь находим, сколько времени еще нужно пройти родителям до озера:

Расстояние до озера: \( 800 - S_p \cdot t_2 \): \[ d_p = S_p \cdot t_2 = 40 \text{ шагов в минуту} \times 8.57 \text{ минут} \approx 343 \text{ шага} \]

Тогда оставшееся расстояние до озера: \[ 800 - 343 \approx 457 \text{ шагов} \]

И время, необходимое для прохождения оставшегося расстояния: \[ t_{p\_remaining} = \frac{457}{40} \approx 11.43 \text{ минут} \]

Итак, родители дойдут до озера примерно через:

\[ \approx 11.43 \text{ минут} \]

Таким образом, ответ: родители дойдут до озера примерно через 11.43 минуты после встречи с сыном.