В треугольник со сторонами 4, 5 и 6 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?

Чтобы найти наименьшее расстояние от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности, сначала вспомним о свойствах треугольника и вписанной окружности.

Для треугольника с сторонами \(a = 4\), \(b = 5\), \(c = 6\) можно использовать формулу для радиуса вписанной окружности \(r\):

\[ r = \frac{S}{p} \]

где \(S\) — площадь треугольника, а \(p\) — полупериметр.

Сначала найдем полупериметр:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 6}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \]

Теперь найдем площадь \(S\) треугольника, используя формулу Герона:

\[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \]

Подставим значения:

\[ S = \sqrt{7.5 \cdot (7.5 - 4) \cdot (7.5 - 5) \cdot (7.5 - 6)} = \sqrt{7.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5} \]

Вычислим это:

\[ S = \sqrt{7.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5} = \sqrt{98.4375} \approx 9.92 \]

Теперь можем рассчитать радиус вписанной окружности:

\[ r = \frac{S}{p} \approx \frac{9.92}{7.5} \approx 1.32 \]

Теперь расстояния от каждой вершины до ближайшей точки касания имеют следующее выражение:

• Расстояние от вершины A (со стороной \(a\)) до точки касания на стороне \(a\) равно \(r\).
• Расстояние от вершины B (со стороной \(b\)) до точки касания на стороне \(b\) равно \(r\).
• Расстояние от вершины C (со стороной \(c\)) до точки касания на стороне \(c\) равно \(r\).

Таким образом, расстояния от каждой из вершин равны радиусу \(r\). Так как радиус один и тот же, наименьшее расстояние будет равно радиусу вписанной окружности.

Итак, наименьшее расстояние от каждой из вершин до ближайшей точки касания вписанной окружности равно:

\[ \mathbf{1.32} \]