Баба Яга готовит зелье. Рецепт подразумевает, что в зелье должны попасть: » не более 5 лягушек (возможно, 0); » чётное число волчьих зубов (возможно, 0); » кратное шести число…

Для решения этой задачи необходимо найти, как баба Яга может сочетать различные ингредиенты, чтобы соблюсти все условия.

Давайте обозначим:

• \( x \) — количество лягушек,
• \( y \) — количество волчьих зубов,
• \( z \) — количество драконьих чешуек.

Исходя из условий, имеем следующие ограничения:

1. \( 0 \leq x \leq 5 \) (не более 5 лягушек),
2. \( y \) — четное число (можно взять 0, 2, 4 и т.д.),
3. \( z \equiv 0 \mod 6 \) (кратное 6; можно взять 0, 6, 12 и т.д.),
4. \( x + y + z = 2025 \) (всего 2025 ингредиентов).

Теперь давайте рассмотрим каждый из возможных случаев для \( x \) от 0 до 5.

1. Для \( x = 0 \): \[ y + z = 2025 \] Где \( y \) четное, а \( z \) кратно 6. Обозначим \( y = 2a \) (где \( a \) — неотрицательное целое число), тогда: \[ 2a + z = 2025 \quad \Rightarrow \quad z = 2025 - 2a \] Поскольку \( z \equiv 0 \mod 6 \), \( 2025 - 2a \) должно быть кратно 6. Остаток от 2025 при делении на 6 равен 3. Следовательно: \[ 3 - 2a \equiv 0 \mod 6 \quad \Rightarrow \quad 2a \equiv 3 \mod 6 \] Это условие может быть представлено как: \[ a \equiv 3 \mod 6 \] То есть, \( a = 6k + 3 \). Подставляем обратно в уравнение: \[ y = 2(6k + 3) = 12k + 6, \quad z = 2025 - (12k + 6) = 2019 - 12k \] При этом, \( z \) должно оставаться неотрицательным: \[ 2019 - 12k \geq 0 \quad \Rightarrow \quad k \leq 168.25 \] То есть \( k \) может принимать значения от 0 до 168, что дает 169 возможных значений.

2. Для \( x = 1 \): Аналогично, у нас: \[ y + z = 2024 \] Аналогичные шаги приведут к: \[ 3 - 2a \equiv 0 \mod 6 \quad \Rightarrow \quad a \equiv 3 \mod 6, \quad a = 6k + 3 \] Таким образом, \( y = 12k + 6 \), \( z = 2018 - 12k \). Неравенство для \( z \): \[ 2018 - 12k \geq 0 \quad \Rightarrow \quad k \leq 168.1666 \] \( k \) может принимать значения от 0 до 168. Всего 169 значений.

3. Для \( x = 2 \): \[ y + z = 2023 \] Вследствие подобной логики, \( a \equiv 4 \mod 6 \). Минимальное \( a \) — это 6 и максимальное 169: \[ k \leq 168.5 \] Значения от 0 до 168. 169 значений.

4. Для \( x = 3 \): Аналогично, у нас: \[ y + z = 2022 \] \( a \equiv 0 \mod 6 \). Минимальное значение \( a \) — это 0, максимальное 169, \( k \leq 168 \), также 169 значений.

5. Для \( x = 4 \): \[ y + z = 2021 \] При этом \( a \equiv 2 \mod 6 \). Значения \( k \) от 0 до 168, тоже 169 значений.

6. Для \( x = 5 \): \[ y + z = 2020 \] \( a \equiv 0 \mod 6 \). Аналогично предыдущим шагам, 169 значений.

Теперь сложим все варианты:

\[ 169 (x=0) + 169 (x=1) + 169 (x=2) + 169 (x=3) + 169 (x=4) + 169 (x=5) = 169 \times 6 = 1014 \]

Таким образом, баба Яга может приготовить зелье 1014 способами.