Известно, что сумма квадратов корней трёхчлена x^2+5ax+5b равна сумме квадратов корней трёхчлена x^2+5bx+5a. Чему равна, a+b, если a≠b

Для начала, давайте найдем корни трехчленов \(x^2 + 5ax + 5b\) и \(x^2 + 5bx + 5a\).

Согласно формуле Виета, сумма корней \(S\) и произведение корней \(P\) для трехчлена \(ax^2 + bx + c\) можно выразить как:

• Сумма корней: \(S = -\frac{b}{a}\)
• Произведение корней: \(P = \frac{c}{a}\)

Для трехчлена \(x^2 + 5ax + 5b\):

• Сумма корней \(S_1 = -5a\)
• Произведение корней \(P_1 = 5b\)

Для трехчлена \(x^2 + 5bx + 5a\):

• Сумма корней \(S_2 = -5b\)
• Произведение корней \(P_2 = 5a\)

Согласно условию задачи, сумма квадратов корней первого трехчлена равна сумме квадратов корней второго. Сумма квадратов корней может быть найдена по формуле: \[ \text{Сумма квадратов} = S^2 - 2P \]

Теперь подставим сумму и произведение для каждого трехчлена:

1. Для первого трехчлена: \[ S_1^2 - 2P_1 = (-5a)^2 - 2 \cdot 5b = 25a^2 - 10b \]

2. Для второго трехчлена: \[ S_2^2 - 2P_2 = (-5b)^2 - 2 \cdot 5a = 25b^2 - 10a \]

Согласно условию задачи, эти две суммы равны: \[ 25a^2 - 10b = 25b^2 - 10a \]

Перепишем уравнение: \[ 25a^2 - 25b^2 + 10a - 10b = 0 \]

Факторизуем это уравнение: \[ 25(a^2 - b^2) + 10(a - b) = 0 \]

Согласно формуле разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\), можно записать: \[ 25(a - b)(a + b) + 10(a - b) = 0 \]

Теперь вынесем \((a - b)\) за скобки: \[ (a - b)(25(a + b) + 10) = 0 \]

Поскольку \(a \neq b\), то \(a - b \neq 0\). Поэтому: \[ 25(a + b) + 10 = 0 \] \[ 25(a + b) = -10 \] \[ a + b = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5} \]

Таким образом, ответ: \[ a + b = -\frac{2}{5} \]