Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 93 до 105. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с…
Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 93 до 105. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?
Для решения задачи рассмотрим шкафчики с номерами от 93 до 105 и будем определять, при каких условиях они подпрыгивают.
Шкафчики будут подпрыгивать, если номер шкафчика делится на произносимое число. Мы ищем самое первое натуральное число, после которого ни один шкафчик не подпрыгнет.
Начнем с определения, какие номера шкафчиков у нас есть:
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
Далее, чтобы найти, когда ни один шкафчик не среагирует, нам необходимо выяснить, какое натуральное число больше 105 (максимальный номер шкафчика) было произнесено. По этой логике, как только будет произнесено число 106 или больше, ни один шкафчик не подпрыгнет, так как ни один из шкафчиков не делится на эти числа.
Теперь определим, какой шкафчик подпрыгнул наибольшее количество раз. Чтобы найти это, посчитаем, сколько раз каждый шкафчик подпрыгнул до того, как число 106 было произнесено:
- 93: прыгает на 1, 3, 31, 93 (4 раза)
- 94: прыгает на 1, 2, 47, 94 (4 раза)
- 95: прыгает на 1, 5, 19, 95 (3 раза)
- 96: прыгает на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 (12 раз)
- 97: прыгает на 1, 97 (2 раза)
- 98: прыгает на 1, 2, 7, 14, 49, 98 (6 раз)
- 99: прыгает на 1, 3, 9, 11, 33, 99 (6 раз)
- 100: прыгает на 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 100 (8 раз)
- 101: прыгает на 1, 101 (2 раза)
- 102: прыгает на 1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102 (8 раз)
- 103: прыгает на 1, 103 (2 раза)
- 104: прыгает на 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104 (8 раз)
- 105: прыгает на 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 (8 раз)
Наибольшее количество раз подпрыгнул шкафчик с номером 96 — он подпрыгнул 12 раз.
Таким образом, первое число, после которого ни один шкафчик не реагировал — это 106, а шкафчик, который подпрыгнул наибольшее количество раз — это шкафчик номер 96.
