Бумажный прямоугольник ABCD со сторонами AB = 3 и ВС = 4 согнули по прямой так, что вершина D попала в вершину В. Найдите длину линии сгиба.
Чтобы найти длину линии сгиба, когда вершина D попадет в вершину B, рассмотрим прямоугольник ABCD с вершинами A(0, 0), B(3, 0), C(3, 4) и D(0, 4).
При сгибании буквы D в точку B, мы можем заметить, что линия сгиба будет перпендикулярна линии DB, так как соединяет точки D и некоторую точку E на отрезке AB.
Точки D и B имеют координаты:
- D(0, 4)
- B(3, 0)
Найдем длину отрезка DB: \[ DB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Линия сгиба - это перпендикулярная линия, проходящая через свою середину. То есть точка E, где будет линия сгиба, делит отрезок DB на две равные части.
Найдем координаты средней точки M отрезка DB: \[ M = \left(\frac{0 + 3}{2}, \frac{4 + 0}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 2\right) \]
Теперь определим общий случай с длиной линии сгиба. Линия сгиба формируется с учетом движений (гибок) вершин. При этом, линейное расстояние от точки D до линии AB не меняется.
Так как отрезок BE в данном случае равен половине отрезка DB, получаем: \[ \text{длина сгиба} = \text{длина DB} = 5 \]
Таким образом, длина линии сгиба равна 5.
