Дима отправился гулять по квадрату 60 х 60, от правого нижнего угла к центру. Сперва он идёт по Нижней строке до второго столбца поворачивать направо доходит до третьей сверху…
Дима отправился гулять по квадрату 60 х 60, от правого нижнего угла к центру. Сперва он идёт по Нижней строке до второго столбца поворачивать направо доходит до третьей сверху строки, поворачивать направо доходит до четвёртого справа столбца и т. д, пока не окажется в одной из четырёх центральных клеток. на рисунке изображён Такой путь для доски 8 x 8 он состоит из 16 клеток. Определите длину пути для доски 60 х 60
Чтобы определить длину пути Димы на квадратной доске 60 х 60, давайте сначала разберем его действия и выявим закономерность.
Дима начинает свой путь от правого нижнего угла (клетка (60, 60)) и движется к центру следуя правилам:
- Он идет по нижней строке до второго столбца.
- Затем поворачивает направо и движется вверх до третьей строки.
- Снова поворачивает направо и идет в сторону до четвертого столбца и так далее.
Таким образом, Дима совершает следующие движения:
- Вниз по строке (60 до 60)
- Вбок (до 2, затем до 4, затем до 6 и т.д. с увеличением на 2)
- Вверх по столбцу (до 3, потом до 5 и т.д. тоже с увеличением на 2)
- Вбок снова (до 4, потом до 6 и т.д.)
Теперь, давайте заметим, как меняются координаты Димы на каждом шаге:
- Первое движение: (60, 60) → (60, 2) (58 единиц)
- Второе движение: (60, 2) → (3, 2) (направление вверх на 57 единиц)
- Третье движение: (3, 2) → (3, 4) (перемещение вправо на 2 единицы)
- Четвертое движение: (3, 4) → (5, 4) (вверх на 2 единицы)
- Затем идет вправо и вверх, соответственно.
Каждое из этих движений можно охарактеризовать как перемещение на четное число клеток и в каждом направлении. Заметим, что общее количество шагов будет увеличиваться с каждым поворотом.
Теперь давайте рассмотрим, как много движений произойдет, пока Дима не дойдет до центральной клетки. Например, для доски 8 х 8 он прошел 16 клеток, поскольку центр находится где-то в пределах (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5).
Для доски 60 х 60 у нас будет аналогичная структура, но количество шагов или длина пути будет больше. Подсчитаем количество конечных позиций, которые будут аналогичными.
Так как Дима делает нечетные и четные шаги, можно ожидать, что максимальная длина пути для 60 х 60 будет составлять:
- В нижней строке - 58 клеток.
- Поднимаясь на 57 клеток.
- Перемещение вправо на 2 строки и так далее.
Таким образом, можно оценить длину пути. Обычно для квадратов размером \( n \) порядок длины пути определяется как \( 4 * (n/2 - 1) \).
Для доски 60 х 60 длина пути: \( 4 * (30 - 1) = 4 * 29 = 116 \) клеток.
Следовательно, длина пути Димы для доски 60 х 60 составит 116 клеток.
