В треугольник со сторонами 4 5 и 6 см вписана окружность Петя посчитал расстояние от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника Чему равно наименьшее из этих расстояний
Чтобы найти наименьшее расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности, сначала необходимо узнать площадь треугольника и его полупериметр.
Давайте обозначим стороны треугольника:
- \(a = 4\) см
- \(b = 5\) см
- \(c = 6\) см
1. Найдем полупериметр \(s\): \[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 6}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ см} \]
2. Найдем площадь \(S\) треугольника с помощью формулы Герона: \[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \] Теперь подставим значения: \[ S = \sqrt{7.5 \cdot (7.5 - 4) \cdot (7.5 - 5) \cdot (7.5 - 6)} = \sqrt{7.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5} \]
Посчитаем:
- \(7.5 - 4 = 3.5\)
- \(7.5 - 5 = 2.5\)
- \(7.5 - 6 = 1.5\)
Теперь найдем произведение: \[ S = \sqrt{7.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5} \]
Сначала посчитаем числитель: \[ 7.5 \cdot 3.5 = 26.25 \] \[ 26.25 \cdot 2.5 = 65.625 \] \[ 65.625 \cdot 1.5 = 98.4375 \]
Теперь извлечем квадратный корень: \[ S \approx \sqrt{98.4375} \approx 9.92 \text{ см}^2 \]
3. Найдем радиус вписанной окружности \(r\): Формула для радиуса вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{s} \] Подставим значения: \[ r = \frac{9.92}{7.5} \approx 1.32 \text{ см} \]
4. Найдем расстояние от каждой вершины до точки касания: Расстояние от вершины треугольника до точки касания окружности с соответствующей стороной равно:
- До стороны \(a\): \[ d_a = r = 1.32 \text{ см} \]
- До стороны \(b\): \[ d_b = r = 1.32 \text{ см} \]
- До стороны \(c\): \[ d_c = r = 1.32 \text{ см} \]
Поскольку радиус одинаков для всех сторон, наименьшее расстояние от вершины до ближайшей точки касания вписанной окружности будет: \[ \text{Наименьшее расстояние} = 1.32 \text{ см} \]
Таким образом, ответ: наименьшее расстояние от любой из вершин до ближайшей точки касания вписанной окружности составляет примерно 1.32 см.
