На дне рождения у Дядьки Черномора присутствовали все 33 богатыря. Черномор угощал их тортом по очереди. Первый богатырь съел 1/16 всего торта, второй- 1/17 оставшегося, третий - 1/18 оставшегося и так далее. Наконец 33-й богатырь съел 1/48 оставшегося куска, и то, что осталось, съел Черномор. Кто съел больше: первый богатырь или Черномор? Выбрать Во сколько раз? Если богатырь и Черномор съели поровну, в ответ запишите 1.
Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим поочередное употребление торта каждым богатырем.
Первый богатырь съел \( \frac{1}{16} \) всего торта.
- Осталось \( 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \) торта.
Второй богатырь съел \( \frac{1}{17} \) оставшегося торта:
- Осталось \( \frac{15}{16} - \frac{1}{17} \cdot \frac{15}{16} = \frac{15}{16} \cdot \left(1 - \frac{1}{17}\right) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16}{17} = \frac{15}{17} \).
Третий богатырь съел \( \frac{1}{18} \) от оставшегося:
- Осталось \( \frac{15}{17} - \frac{1}{18} \cdot \frac{15}{17} = \frac{15}{17} \cdot \left(1 - \frac{1}{18}\right) = \frac{15}{17} \cdot \frac{17}{18} = \frac{15}{18} \).
Таким образом, мы видим, что каждый богатырь съедает часть остатка торта. Мы продолжаем эту логику до 33-го богатыря.
В конце концов, 33-й богатырь съел \( \frac{1}{48} \) от оставшегося куска:
- Осталось \( X_0 \) торта после 32 богатырей, и он съел \( \frac{1}{48} X_0 \).
- После этого остаток торта \( X_0 - \frac{1}{48} X_0 = \frac{47}{48} X_0 \) достался Черномору.
Теперь давайте найдем, сколько торта съел Черномор. Он съел \( \frac{47}{48} X_0 \).
Теперь нам нужно будет сравнить вес первого богатыря и Черномора в процентах от всего торта:
- Первый богатырь съел \( \frac{1}{16} \) (это составляет 0.0625 от целого торта).
- Черномор съел \( \frac{47}{48} X_0 \) (где \( X_0 \) - общее количество торта), так что давайте сравним.
Чтобы ответить, кто из них съел больше, можно выразить это отношение:
\[ \text{Отношение} = \frac{\text{Часть, съеденная Черномором}}{\text{Часть, съеденная первым богатырем}} = \frac{\frac{47}{48} X_0}{\frac{1}{16}} = \left(\frac{47}{48}\right) \cdot 16. \]
Теперь посчитаем:
\[ \frac{47 \cdot 16}{48} = \frac{752}{48} \approx 15.67. \]
Значит, Черномор съел больше в примерно 15.67 раз по сравнению с первым богатырем.
Ответ: 15.67.
