15/4+3x-x^2>=1
Давайте решим неравенство \( \frac{15}{4} + 3x - x^2 \geq 1 \).
Сначала упрощаем его. Переносим 1 на левую часть неравенства: \[ \frac{15}{4} + 3x - x^2 - 1 \geq 0 \]
Приведем 1 к четвертям (так как у нас уже есть дробь с 4): \[ 1 = \frac{4}{4} \] Теперь подставляем это значение в неравенство: \[ \frac{15}{4} - \frac{4}{4} + 3x - x^2 \geq 0 \]
Это можно записать как: \[ \frac{11}{4} + 3x - x^2 \geq 0 \]
Умножим всё неравенство на 4, чтобы избавиться от дробей (с учетом, что 4 положительное число, знак неравенства не изменится): \[ 11 + 12x - 4x^2 \geq 0 \]
Или, переписывая его в стандартной форме: \[ -4x^2 + 12x + 11 \geq 0 \]
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Используем формулу корней: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = -4 \), \( b = 12 \), \( c = 11 \): \[ D = 12^2 - 4(-4)(11) = 144 + 176 = 320 \]
Находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем: \[ x_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{320}}{-8} \]
Сначала найдем \( \sqrt{320} = 8\sqrt{5} \): \[ x_{1,2} = \frac{-12 \pm 8\sqrt{5}}{-8} = \frac{12 \mp 8\sqrt{5}}{8} \] Упрощаем: \[ x_{1,2} = \frac{3 \mp 2\sqrt{5}}{2} \]
Таким образом, корни: \[ x_1 = \frac{3 - 2\sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{2} \]
Теперь определим, какие промежутки удовлетворяют нашему неравенству. Поскольку коэффициент при \( x^2 \) отрицательный, парабола будет открыта вниз. Таким образом, неравенство \( -4x^2 + 12x + 11 \geq 0 \) будет выполняться между корнями: \[ \frac{3 - 2\sqrt{5}}{2} \leq x \leq \frac{3 + 2\sqrt{5}}{2} \]
Таким образом, ответ на неравенство \( \frac{15}{4} + 3x - x^2 \geq 1 \) – это промежуток: \[ x \in \left[ \frac{3 - 2\sqrt{5}}{2}, \frac{3 + 2\sqrt{5}}{2} \right]. \]
