назовём натуральное число интересным, если в его двоичной аписи не более 2 единиц. Например, числа 4=100 в двоичной системе и 40= 101000 в двоичной системе- интересные. Сколько…

Чтобы определить количество интересных натуральных чисел, меньших 4000, давайте сначала уточним, что интересное число — это число, в двоичной записи которого не более двух единиц.

Шаг 1: Двоичная система счисления

Каждое интересное число можно представить в виде суммы степеней двоих чисел, соответствующих позициям единиц в двоичной записи. Например, если у нас есть одно интересное число, то это будет просто 2^n, а если два — сумма двух степеней, таких как 2^i + 2^j (где i > j).

Шаг 2: Определим предел

Для числа 4000, давайте сначала переведем его в двоичную систему. 4000 в двоичной системе представляется как 11111010000 (это 12 бит).

Шаг 3: Подсчет интересных чисел

1. Числа с одной единицей:

   • Единицы могут стоять на позициях от 0 до 11 (всего 12 возможных позиций).
   • Значит, есть 12 интересных чисел (2^0, 2^1, ..., 2^11).

2. Числа с двумя единицами:

   • Мы можем выбрать 2 позиции из 12 для размещения единиц. Это можно сделать с помощью комбинации.
   • Количество способов выбрать 2 позиции из 12 равно C(12, 2), что вычисляется как: \[ C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2} = 66. \]

Шаг 4: Суммируем

Теперь сложим число интересных чисел с одной единицей и с двумя единицами:

• Числа с одной единицей: 12
• Числа с двумя единицами: 66

Итак, общее количество интересных чисел, меньших 4000, составляет: \[ 12 + 66 = 78. \]

Ответ

Таким образом, существует 78 интересных чисел, которые меньше 4000.