в треугольник со сторонами 5,6. и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…

Чтобы найти наименьшее расстояние от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности, начнем с некоторых основных понятий.

Для треугольника со сторонами \( a = 5 \), \( b = 6 \) и \( c = 8 \), можно сначала найти полупериметр \( s \):

\[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 8}{2} = 9.5 \]

Теперь найдем радиус вписанной окружности \( r \) с помощью формулы:

\[ r = \frac{S}{s} \]

где \( S \) — площадь треугольника. Площадь можно найти, используя формулу Герона:

\[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]

Подставляя значения:

\[ S = \sqrt{9.5(9.5 - 5)(9.5 - 6)(9.5 - 8)} = \sqrt{9.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 1.5} \]

Теперь посчитаем:

\[ 9.5 - 5 = 4.5, \quad 9.5 - 6 = 3.5, \quad 9.5 - 8 = 1.5 \]

Вычислим:

\[ 9.5 \cdot 4.5 = 42.75, \quad 42.75 \cdot 3.5 = 149.625, \quad 149.625 \cdot 1.5 = 224.4375 \]

Теперь найдем корень:

\[ S = \sqrt{224.4375} \approx 15 \]

Теперь можем найти радиус окружности:

\[ r \approx \frac{15}{9.5} \approx 1.58 \]

Теперь определим расстояния от точек касания до вершин треугольника. Расстояние от вершины до точки касания зависят от длин сторон и полупериметра:

• Для стороны \( a = 5 \): расстояние от вершины \( A \) до точки касания — \( s - a = 9.5 - 5 = 4.5 \).
• Для стороны \( b = 6 \): расстояние от вершины \( B \) — \( s - b = 9.5 - 6 = 3.5 \).
• Для стороны \( c = 8 \): расстояние от вершины \( C \) — \( s - c = 9.5 - 8 = 1.5 \).

Теперь сравним все расстояния:

• Для вершины \( A \): \( 4.5 \)
• Для вершины \( B \): \( 3.5 \)
• Для вершины \( C \): \( 1.5 \)

Наименьшее расстояние от вершин треугольника до касательной точки окружности составляет \( 1.5 \).

Таким образом, наименьшее из этих расстояний равно \( 1.5 \).