На координатной полоскости OXY отметили все точки(x, y), координаты которых удовлетворяют x2+3y2=2x-1. Что за множество получилось?
Давайте разберём уравнение \(x^2 + 3y^2 = 2x - 1\). Чтобы понять, какое множество точек задано данным уравнением, сначала приведём его к стандартному виду.
Переносим все члены в одну сторону: \[ x^2 - 2x + 3y^2 + 1 = 0 \]
Теперь попробуем упростить квадратичные члены. Для этого скомбинируем \(x^2 - 2x\) и проэкспрессируем его в виде полного квадрата: \[ (x - 1)^2 - 1 + 3y^2 + 1 = 0 \] Это сокращается до: \[ (x - 1)^2 + 3y^2 = 0 \]
Заметим, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Это означает, что: \[ (x - 1)^2 \geq 0 \quad \text{и} \quad 3y^2 \geq 0 \] При этом сумма \( (x - 1)^2 + 3y^2 = 0 \) может быть равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю. Значит: \[ (x - 1)^2 = 0 \quad \text{и} \quad 3y^2 = 0 \]
Решая эти уравнения, получаем: \[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1, \] и \[ y^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0. \]
Таким образом, уравнение описывает только одну точку на координатной плоскости \(OXY\): \[ (1, 0). \]
Таким образом, множество точек, удовлетворяющих данному уравнению, состоит только из одной точки \((1, 0)\).
