Катя начала выписывать в порядке возрастания всё числа, для которых одновременно выполняются следущие условия: состоят только из цифр 2 и 5 имеют сколько же двоек, сколько пятëрок…

Чтобы решить задачу, начнем с понимания условий, которые нужно выполнить для чисел:

1. Числа должны состоять только из цифр 2 и 5.
2. Должно быть одинаковое количество двоек и пятёрок.
3. Числа должны делиться на 3.

Первое, что стоит отметить, это то, что числа, состоящие из двоек и пятёрок, могут быть представлены в виде \(2^m \times 5^n\), где \(m\) и \(n\) - количество двоек и пятёрок соответственно. При равном количестве двоек и пятёрок \(m = n\).

Следующий шаг - понимание условия делимости на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. То есть, нам необходимо рассмотреть, как выглядит сумма цифр в числах, состоящих из \(k\) двоек и \(k\) пятёрок.

Сумма цифр числа, состоящего из \(k\) двоек и \(k\) пятёрок, будет равна \(2k + 5k = 7k\). Чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы \(7k\) делилось на 3.

Теперь подберем значения \(k\):

• Если \(k = 0\): Сумма = 0 (делится на 3). Число = (пустое число).
• Если \(k = 1\): Сумма = 7 (не делится на 3).
• Если \(k = 2\): Сумма = 14 (не делится на 3).
• Если \(k = 3\): Сумма = 21 (делится на 3). Число = 222555.
• Если \(k = 4\): Сумма = 28 (не делится на 3).
• Если \(k = 5\): Сумма = 35 (не делится на 3).
• Если \(k = 6\): Сумма = 42 (делится на 3). Число = 22225555.

Следовательно, числа, которые соответствуют всем условиям и идут в порядке возрастания:

1. 222555
2. 22225555

Таким образом, второе число, которое стоит на втором месте у Виталика — это 22225555.