Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 67 до 79. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?

Давайте разберемся с задачей по порядку.

Барабашка произносит вслух числа натурального ряда, начиная с 1. Шкафчики, которые имеют номера от 67 до 79, будут реагировать, если номер шкафчика делится на произносимое число. Давайте перечислим номера шкафчиков: 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79.

Теперь нам нужно выяснить, при каком числе ни один шкафчик не подпрыгнет. Это произойдет, когда произносимое число не делится ни на один из номеров шкафчиков. То есть, нам нужно найти наименьшее число, большее 1, которое не делится на 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 и 79.

Чтобы найти такое число, начнем проверять по порядку числа, начиная с 1, и увидим, каковы их делимость. Проверим числа по возрастанию:

• 1 (делится на всё)
• 2 (делится на 68, 70, 72, 74, 76, 78)
• 3 (делится на 69, 72, 75, 78)
• 4 (делится на 68, 72, 76)
• 5 (делится на 70, 75)
• 6 (делится на 68, 72, 78)
• 7 (делится на 70, 77)
• 8 (делится на 68, 72)
• 9 (делится на 69)
• 10 (делится на 70)
• 11 (не делится на ни один шкафчик, но не минимальное)
• …

Проверяя делимость будем искать число, которое подходит под условие. Продолжим дальше:

Проверяя числа до 11, сразу мы видим, что:

• 12 (делится на 68, 72, 78)
• 13 (не делится на ни один шкафчик)
• 14 (делится на 70)
• 15 (делится на 75)

В итоге, следующее число, которое не делится на шкафчики - это 13. Таким образом, как только Барабашка произнес 13, ни один шкафчик не подпрыгнул.

Теперь нам необходимо выяснить шкафчик, который подпрыгнул наибольшее количество раз. Посчитаем, сколько раз каждый шкафчик реагировал на произносимые числа от 1 до 12 (так как на 13 уже никто не реагировал).

Для каждого шкафа:

• 67: подпрыгает на 67
• 68: подпрыгает на 2, 4, 68
• 69: подпрыгает на 3, 69
• 70: подпрыгает на 2, 5, 7, 10, 14, 70
• 71: подпрыгает на 71
• 72: подпрыгает на 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 72
• 73: подпрыгает на 73
• 74: подпрыгает на 2, 37, 74
• 75: подпрыгает на 3, 5, 15, 25, 75
• 76: подпрыгает на 2, 4, 19, 76
• 77: подпрыгает на 7, 77
• 78: подпрыгает на 2, 3, 6, 9, 13, 26, 39, 78
• 79: подпрыгает на 79

Теперь при подсчете количества реакций видно, что номер 72 реагировал больше всего раз (8 раз). А значит наибольшее количество раз подпрыгнул шкафчик с номером 72.

Итог:

• Число, после которого ни один шкафчик не отреагировал: 13.
• Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее количество раз: 72.