Имеется 8 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между…

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество синих шариков в коробке \(i\) как \(b_i\), а количество красных шариков в той же коробке \(i\) как \(r_i\). Разность между количеством шариков разных цветов в каждой коробке может быть записана как \( |b_i - r_i| \).

Условия задачи говорят о том, что разности, написанные на коробках, все разные, и всего их 8, то есть: \[ |b_1 - r_1|, |b_2 - r_2|, \ldots, |b_8 - r_8| \] должны принимать значения от 1 до 8 (поскольку для 8 коробок нам понадобятся 8 разных чисел).

Так как мы знаем, что общее количество красных шариков равно общему количеству синих, то:

\[ \sum_{i=1}^{8} b_i = \sum_{i=1}^{8} r_i \]

Если обозначим функцию разности как \(d_i = |b_i - r_i|\), то в каждой коробке, чтобы обеспечить выполнение условия с 8 разными числами, нам нужно, чтобы разности принимали значения от 1 до 8.

Пусть \(d_i = i\) для \(i = 1, 2, \ldots, 8\). Теперь мы можем предположить, что в каждой коробке:

1. В первой коробке \(d_1 = 1\): пусть \(b_1 = 2\) и \(r_1 = 1\) (или наоборот).
2. Во второй коробке \(d_2 = 2\): пусть \(b_2 = 3\) и \(r_2 = 1\) (или \(b_2 = 1\) и \(r_2 = 3\)).
3. В третьей коробке \(d_3 = 3\): пусть \(b_3 = 4\) и \(r_3 = 1\) (или \(b_3 = 1\) и \(r_3 = 4\)).
4. В четвертой коробке \(d_4 = 4\): пусть \(b_4 = 5\) и \(r_4 = 1\) (или \(b_4 = 1\) и \(r_4 = 5\)).
5. В пятой коробке \(d_5 = 5\): пусть \(b_5 = 6\) и \(r_5 = 1\) (или \(b_5 = 1\) и \(r_5 = 6\)).
6. В шестой коробке \(d_6 = 6\): пусть \(b_6 = 7\) и \(r_6 = 1\) (или \(b_6 = 1\) и \(r_6 = 7\)).
7. В седьмой коробке \(d_7 = 7\): пусть \(b_7 = 8\) и \(r_7 = 1\) (или \(b_7 = 1\) и \(r_7 = 8\)).
8. В восьмой коробке \(d_8 = 8\): пусть \(b_8 = 9\) и \(r_8 = 1\) (или \(b_8 = 1\) и \(r_8 = 9\)).

Теперь суммируем количество шариков:

\[ \sum_{i=1}^{8} (b_i + r_i) = (2 + 1) + (3 + 1) + (4 + 1) + (5 + 1) + (6 + 1) + (7 + 1) + (8 + 1) + (9 + 1) = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 52 \]

Но поскольку общее количество красных и синих шариков должно быть одинаковым, можно уменьшить количество шариков в каждой коробке, сохраняя необходимую разницу.

Таким образом:

• Для первой коробки можно взять \( (b_1, r_1) = (1, 1) \);
• Для второй коробки \( (b_2, r_2) = (2, 1) \);
• Для третьей коробки \( (b_3, r_3) = (3, 3) \);
• Для остальных можно использовать подходящие значения с учётом равенства красных и синих.

Эта схема позволяет минимизировать общее количество шариков, ето не должно быть менее 16 (по 8 с каждой стороны):

Итак, минимальное количество шариков во всех коробках будет составлять 16.