В треугольник со сторонами 4, 5 и 6 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…

Для начала, давайте рассчитаем полупериметр треугольника с сторонами 4, 5 и 6. Полупериметр \( p \) вычисляется как:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 6}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \]

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности \( r \) треугольника, используя формулу:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где \( S \) - площадь треугольника. Площадь треугольника с известными сторонами можно найти по формуле Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Подставим значения:

\[ S = \sqrt{7.5(7.5 - 4)(7.5 - 5)(7.5 - 6)} = \sqrt{7.5 \times 3.5 \times 2.5 \times 1.5} \]

Теперь посчитаем каждое из значений:

\[ 7.5 - 4 = 3.5 \]

\[ 7.5 - 5 = 2.5 \]

\[ 7.5 - 6 = 1.5 \]

Теперь, подставив эти значения в формулу площади:

\[ S = \sqrt{7.5 \times 3.5 \times 2.5 \times 1.5} \]

Теперь давайте рассчитаем произведение:

\[ 7.5 \times 3.5 = 26.25 \]

\[ 2.5 \times 1.5 = 3.75 \]

Теперь,

\[ 26.25 \times 3.75 = 98.4375 \]

Теперь возьмем квадратный корень:

\[ S \approx \sqrt{98.4375} \approx 9.92 \]

Теперь, используя радиус вписанной окружности:

\[ r = \frac{S}{p} \approx \frac{9.92}{7.5} \approx 1.32 \]

Следующий шаг - найти расстояния от каждой вершины треугольника до точки касания вписанной окружности. Эти расстояния равны \( p - a \), \( p - b \), и \( p - c \):

• Расстояние от вершины, соприкасающейся со стороной 4:

\[ p - 4 = 7.5 - 4 = 3.5 \]

• Расстояние от вершины, соприкасающейся со стороной 5:

\[ p - 5 = 7.5 - 5 = 2.5 \]

• Расстояние от вершины, соприкасающейся со стороной 6:

\[ p - 6 = 7.5 - 6 = 1.5 \]

Теперь давайте найдём наименьшее из этих расстояний:

• \( 3.5 \)
• \( 2.5 \)
• \( 1.5 \)

Наименьшее значение среди этих расстояний:

\[ \min(3.5, 2.5, 1.5) = 1.5 \]

Таким образом, наименьшее расстояние от каждой из вершин до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника равно \( 1.5 \).