Барабашка живет в раздевалке где стоят шкафчики с номерами от 98 до 111. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством он стал произносить вслух числа натурального ряда,начиная с 1.При этом,если номер шкафчика делится на называемое число то шкафчик подпрыгивает один раз в противном случае стоит смирно.Безобразия прекратились как только было произнесено число в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число?шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим шкафчики с номерами от 98 до 111 и посмотрим, какие числа могут вызвать их "подпрыгивание".

Шкафчики подпрыгивают, если номер шкафчика делится на произносимое число. Следовательно, для того, чтобы найти число, на которое ни один шкафчик не отреагировал, нам нужно понять, какие числа могут делить номера шкафчиков в заданном диапазоне.

Номера шкафчиков: 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111.

Теперь найдем наименьшее число, большее 111, которое не делится ни на один из номеров шкафчиков. Для этого нам нужно рассмотреть делители номеров шкафчиков.

Наименьшее общее кратное (НОК) номеров шкафчиков может помочь нам выявить число, которое делится на все шкафчики, но для определения числа, которое не вызовет реакцию, нам нужно искать числа, превышающие 111. Заметим, что 112 не делится ни на 109, ни на 111, таким образом, 112 — это первое число, на которое ни один шкафчик не среагирует.

Теперь давайте выясним, какой шкафчик подпрыгнул наибольшее количество раз. Для этого нам нужно определить, сколько раз каждый шкафчик реагировал на числа от 1 до 111.

• Шкафчик 98: подпрыгнет на 1, 2, 7, 14, 49, 98 (всего 6 раз)
• Шкафчик 99: подпрыгнет на 1, 3, 9, 11, 33, 99 (всего 6 раз)
• Шкафчик 100: подпрыгнет на 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 (всего 9 раз)
• Шкафчик 101: подпрыгнет только на 1, 101 (всего 2 раза)
• Шкафчик 102: подпрыгнет на 1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102 (всего 8 раз)
• Шкафчик 103: подпрыгнет только на 1, 103 (всего 2 раза)
• Шкафчик 104: подпрыгнет на 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104 (всего 8 раз)
• Шкафчик 105: подпрыгнет на 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 (всего 8 раз)
• Шкафчик 106: подпрыгнет на 1, 2, 53, 106 (всего 4 раза)
• Шкафчик 107: подпрыгнет только на 1, 107 (всего 2 раза)
• Шкафчик 108: подпрыгнет на 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108 (всего 12 раз)
• Шкафчик 109: подпрыгнет только на 1, 109 (всего 2 раза)
• Шкафчик 110: подпрыгнет на 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110 (всего 8 раз)
• Шкафчик 111: подпрыгнет на 1, 3, 37, 111 (всего 4 раза)

Итак, максимальное количество "подпрыгиваний" наблюдается у шкафа с номером 108, который подпрыгнул 12 раз.

Таким образом, число, на которое ни один шкафчик не среагировал - это 112, а шкафчик, который подпрыгнул наибольшее число раз - 108.