Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 67 до 79. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?

Чтобы решить эту задачу, давайте проанализируем, как работает механизм "подпрыгивания" шкафчиков.

У нас есть шкафчики с номерами от 67 до 79. Это значит, что шкафчики имеют номера: 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79.

Когда Барабашка начинает называть натуральные числа, каждый шкафчик подпрыгивает, если его номер делится на названное число. Игра прекращается, когда Барабашка произнесёт число, на которое не делится ни один номер шкафчика.

Первым делом попробуем определить, какие номера шкафчиков у нас есть и в каком порядке они будут реагировать.

Теперь найдем наименьшее число, которое не делит ни один из номеров шкафчиков от 67 до 79.

1. Все шкафчики имеют разные номера, и наибольшее из этих чисел – 79.
2. Если мы посмотрим на их делители, нам нужно найти минимальное число, которое не является делителем ни одного из этих номеров.

Рассмотрим числа, начиная с 1.

• При n = 1, все шкафчики подпрыгнут (67, 68, 69,..., 79).
• При n = 2, подпрыгнут шкафчики с чётными номерами: 68, 70, 72, 74, 76, 78.
• При n = 3, подпрыгнут номера, делящиеся на 3: 69, 72, 75.
• При n = 4, подпрыгнут только 68 и 72.
• Продолжаем в том же духе…

Мы можем обнаружить, что числа 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79 – не делятся на 2, 3, и 4. Продолжая это делать, мы в итоге найдем, что как только Барабашка скажет 80, никто из шкафчиков не подпрыгнет, поскольку все номера от 67 до 79 меньше 80.

Для нахождения номера шкафчика, который подпрыгнул наибольшее количество раз, мы можем заметить, что он будет иметь наибольшее количество делителей среди других шкафчиков. Шкафчик номер 72 делится на: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, и 72, что дает ему 12 делителей и, следовательно, максимальное количество «подпрыгиваний».

Таким образом, ответ на ваш вопрос таков:

1. Число, после которого ни один шкафчик не подпрыгнул: 80.
2. Шкафчик, который подпрыгнул наибольшее количество раз: 72.