З вершин трикутника АВС в один бік від його площини проведено рівні і паралельні відрізки АА1, ВВ1, СС1. Доведіть, що площини (АBC) і (А1В1С1) паралельні. Запишіть дано, довести,…

Дано:

• Трикутник \( ABC \) в просторі.
• Вершини \( A, B, C \) трикутника мають відповідні точки \( A_1, B_1, C_1 \), такі що:
  • Відрізки \( AA_1, BB_1, CC_1 \) є рівними і паралельними та розташовані з одного боку від площини трикутника \( ABC \).

Довести: Площини \( (ABC) \) та \( (A_1B_1C_1) \) паралельні.

Доведення:

1. Задано, що відрізки \( AA_1 \), \( BB_1 \) та \( CC_1 \) є паралельними. Це означає, що вектори \( \overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{BB_1}, \overrightarrow{CC_1} \) є паралельні.

2. Вектори \( \overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{BB_1}, \overrightarrow{CC_1} \) можна представити як \( \overrightarrow{AA_1} = k \cdot \overrightarrow{n} \), де \( k \) - деяке дійсне число, а \( \overrightarrow{n} \) - вектор, що задає напрямок, в якому проведені відрізки.

3. Оскільки точки \( A_1, B_1, C_1 \) лежать на лініях, паралельних лінії, де розташовані точки \( A, B, C \), то висота, проведена з точки \( A_1 \) в площину \( (ABC) \), буде паралельна висотам з точок \( A, B, C \) до площини.

4. Всі точки \( A_1, B_1, C_1 \) знаходяться на однаковій відстані від площини \( (ABC) \) (оскільки відрізки рівні), що означає, що для будь-якої точки з площини паралельний відрізок, проведений з точки, що лежить на площині, буде також лежати в площині \( (A_1B_1C_1) \).

5. Отже, оскільки \( (ABC) \) та \( (A_1B_1C_1) \) мають відповідні вектори, які паралельні та однакові по відстані, це дає підстави стверджувати, що площини \( (ABC) \) і \( (A_1B_1C_1) \) паралельні.

Висновок: Площини \( (ABC) \) та \( (A_1B_1C_1) \) паралельні.