На дне рождения Дядьки Черномора присутствовали все 33 богатыря. Черномор угощал их тортом по очереди Первый богатырь съел 1/16 всего торп. Второй 1/17 третий 1/18 и так далее. Наконец 33 богатырь съел 1/48 оставшегося куска, и то, что осталось съел Черномор. Кто съел больше: первый богатырь или Черномор ?
Чтобы решить эту задачу, давайте разберем, сколько каждый богатырь съел торта, и затем сравним с тем, сколько съел Черномор.
Обозначим весь торт за 1.
Первый богатырь съел \( \frac{1}{16} \) от общего торта, то есть \( \frac{1}{16} \).
Второй богатырь съел \( \frac{1}{17} \) от оставшегося торта. Оставшийся торт после первого богатыря: \[ 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \] А значит, второй богатырь съел: \[ \frac{1}{17} \cdot \frac{15}{16} = \frac{15}{16 \cdot 17} = \frac{15}{272} \]
Продолжим эту логику для следующих богатырей. Каждый из них будет съедать долю от оставшегося торта с номерами от 1 до 33:
- Третий богатырь: \[ 1 - \left(\frac{1}{16} + \frac{15}{272} \right) = \text{оставшийся торт} \] Сложим, чтобы вычислить оставшийся торт на каждом шаге, но это становится трудоемким.
Можно заметить, что каждый следующий богатырь съедает все меньшую долю оставшегося торта. Самый последний, 33-й богатырь, съедает \( \frac{1}{48} \) от оставшегося куска. В результате для вычислений нам нужно найти общий кусок торта, который остается после всех богатырей.
Сумеем доли: Для первого и для черномора. Можете заметить, что черномор будет съедать маленькую часть от оставшегося куска после 33 богатырей.
Сравнив \( \frac{1}{16} \) и то, что съел Черномор, можно заметить, что первый богатырь съел больше самого Черномора, потому что каждый последующий поочередно съедает все меньшие части.
Таким образом, ответ на вопрос: Первый богатырь съел больше, чем Черномор.
