Из клетчатого квадрата 11 на 11 выросли часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 3 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну, сколько клеток могло быть вырезано?

Для решения этой задачи начнем с определения размеров клетчатого квадрата и требований к квадратам, которые мы хотим получить. У нас есть квадрат размером 11 на 11, который состоит из 121 клетки (11 * 11 = 121).

1. Пусть количество вырезанных клеток будет \( x \).
2. После вырезания клеток в квадрате останется \( 121 - x \) клеток.
3. Нам нужно разбить оставшуюся фигуру на квадраты со сторонами 1 и 3 так, чтобы квадратов каждого типа было поровну.

Обозначим количество квадратов со стороной 1 как \( n \), а количество квадратов со стороной 3 также \( n \).

Каждый квадрат со стороной 1 занимает 1 клетку, следовательно, \( n \) таких квадратов займёт \( n \) клеток.

Каждый квадрат со стороной 3 занимает 3 * 3 = 9 клеток, следовательно, \( n \) таких квадратов займёт \( 9n \) клеток.

Таким образом, общее количество клеток, занятых квадратами, будет равно: \[ n + 9n = 10n. \]

С учетом того, что после вырезания клеток у нас остаётся \( 121 - x \) клеток, получаем уравнение: \[ 10n = 121 - x. \] Или, переписывая его, мы имеем: \[ x = 121 - 10n. \]

Теперь нам нужно убедиться, что \( x \) — это целое неотрицательное число, и чтобы \( n \) было таковым, что вырезано допустимое количество клеток.

Так как \( x \) должно быть неотрицательным, у нас есть: \[ 121 - 10n \geq 0, \] что приводит к: \[ 10n \leq 121 \] или \[ n \leq 12.1. \]

Поскольку \( n \) — это целое число, максимальное значение \( n \) составляет 12.

Теперь нам можем подставить возможные значения \( n \) от 0 до 12 и найти соответствующее значение \( x \).

• Если \( n = 0 \), тогда \( x = 121 - 10 \cdot 0 = 121 \).
• Если \( n = 1 \), тогда \( x = 121 - 10 \cdot 1 = 111 \).
• Если \( n = 2 \), тогда \( x = 121 - 10 \cdot 2 = 101 \).
• Если \( n = 3 \), тогда \( x = 121 - 10 \cdot 3 = 91 \).
• Если \( n = 4 \), тогда \( x = 121 - 10 \cdot 4 = 81 \).
• Если \( n = 5 \), тогда \( x = 121 - 10 \cdot 5 = 71 \).
• Если \( n = 6 \), тогда \( x = 121 - 10 \cdot 6 = 61 \).
• Если \( n = 7 \), тогда \( x = 121 - 10 \cdot 7 = 51 \).
• Если \( n = 8 \), тогда \( x = 121 - 10 \cdot 8 = 41 \).
• Если \( n = 9 \), тогда \( x = 121 - 10 \cdot 9 = 31 \).
• Если \( n = 10 \), тогда \( x = 121 - 10 \cdot 10 = 21 \).
• Если \( n = 11 \), тогда \( x = 121 - 10 \cdot 11 = 11 \).
• Если \( n = 12 \), тогда \( x = 121 - 10 \cdot 12 = 1 \).

Таким образом, количество вырезанных клеток \( x \) может быть одним из следующих значений: 121, 111, 101, 91, 81, 71, 61, 51, 41, 31, 21, 11, 1. Это все возможные значения, но стоит помнить, что не все из этих значений могут означать вырезание клеток с одного из углов, так как изначально нужно учитывать условия задачи.

Чтобы соответствовать формулировке задачи, если удалять только угловые клетки, то мы сужаем рассматриваемый диапазон. Но в общем виде, перечисленные выше значения — это все возможные варианты количества вырезанных клеток.